袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個の合計6個の玉が入っている。机の上に赤色、青色、黄色の皿が1枚ずつ置かれている。袋の中から1個ずつ3個の玉を取り出し、取り出した順に、赤色の皿、青色の皿、黄色の皿の上に1個ずつのせる。玉の色と皿の色が一致している皿の枚数をXとする。 (1) $X=3$ となる確率を求めよ。 (2) $X=2$ となる確率を求めよ。 (3) $X$ の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個の合計6個の玉が入っている。机の上に赤色、青色、黄色の皿が1枚ずつ置かれている。袋の中から1個ずつ3個の玉を取り出し、取り出した順に、赤色の皿、青色の皿、黄色の皿の上に1個ずつのせる。玉の色と皿の色が一致している皿の枚数をXとする。

(1) $X=3$ となる確率を求めよ。

(2) $X=2$ となる確率を求めよ。

(3) $X$ の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $X=3$ となるのは、取り出した3つの玉の色がそれぞれ赤、青、黄である場合である。

取り出し方は全部で $6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りある。

$X=3$ となるのは、赤、青、黄の順に取り出す場合、赤、黄、青の順に取り出す場合、青、赤、黄の順に取り出す場合、青、黄、赤の順に取り出す場合、黄、赤、青の順に取り出す場合、黄、青、赤の順に取り出す場合の6通りがある。

赤、青、黄の順に取り出す確率は $\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120}$

赤、黄、青の順に取り出す確率は $\frac{3}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{120}$

青、赤、黄の順に取り出す確率は $\frac{2}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120}$

青、黄、赤の順に取り出す確率は $\frac{2}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{120}$

黄、赤、青の順に取り出す確率は $\frac{1}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{120}$

黄、青、赤の順に取り出す確率は $\frac{1}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{120}$

したがって、$X=3$ となる確率は

$6 \times \frac{6}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$

(2) $X=2$ となるのは、3つの玉のうち2つの玉の色が一致する場合である。

つまり、(赤,赤,青), (赤,赤,黄), (青,青,赤), (青,青,黄)のパターンで取り出す場合である。

(赤,赤,青)となる確率は $\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{12}{120} = \frac{6}{60} = \frac{3}{30}$

同じ色が2つある場合は並べ方が3通りあるので、上記の確率は3倍する必要がある

(赤,赤,青) = $\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{4} \times 3 = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$

(赤,赤,黄) = $\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times 3 = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$

(青,青,赤) = $\frac{2}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{3}{4} \times 3 = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$

(青,青,黄) = $\frac{2}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} \times 3 = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$

$X=2$ となる確率は、$\frac{3}{10} + \frac{3}{20} + \frac{3}{20} + \frac{1}{20} = \frac{13}{20}$

(3) $X$の取りうる値は0,1,2,3である。

$X=3$となる確率は $\frac{3}{10}$

$X=2$となる確率は $\frac{13}{20}$

$X=1$となる確率は $1 - \frac{3}{10} - \frac{13}{20} -P(X=0) = 1 - \frac{6}{20} - \frac{13}{20} = \frac{1}{20}$

$P(X=0)$の確率を求める必要がある

$X=0$となるのは3つとも違う色の時以外で、かつどれも一致しない時である。

(赤,青,黄)=$\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}$ = $\frac{6}{120}$

取りうる順番は6通り、$\frac{6}{120}\times 6 = \frac{36}{120}=\frac{3}{10}$

これは3つ一致する場合なので、一致しない場合は0である

3つの色が全て異なるのは $3/10$

3つのうち2つが同じ色で、かつどれも一致しないということはありえない

$X=1$となる確率は、全体から3つ一致と2つ一致を引けばよいので、

$1 - \frac{3}{10} - \frac{13}{20} = \frac{20-6-13}{20} = \frac{1}{20}$

X=0となる確率=0

Xの期待値は $0\cdot P(X=0) + 1\cdot P(X=1) + 2\cdot P(X=2) + 3\cdot P(X=3) = 0\cdot P(X=0) + 1\cdot \frac{1}{20} + 2\cdot \frac{13}{20} + 3\cdot \frac{3}{10} = \frac{1}{20} + \frac{26}{20} + \frac{18}{20} = \frac{45}{20} = \frac{9}{4} = 2.25$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{10}$

(2) $\frac{13}{20}$

(3) $\frac{9}{4}$