等差数列 $\{a_n\}$ について、$a_2 = 2$、$a_3 + a_4 + a_5 = 10$ が与えられている。また、公比が正の等比数列 $\{b_n\}$ について、$b_2 = \frac{3}{2}$、$b_3 + b_4 = 18$ が与えられている。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。 (3) 数列 $\{a_n\}$ の項のうち、整数となる項を小さい順に並べてできる数列を $\{c_n\}$ とする。このとき、$\sum_{k=1}^n b_k c_k$ を $n$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ について、$a_2 = 2$、$a_3 + a_4 + a_5 = 10$ が与えられている。また、公比が正の等比数列 $\{b_n\}$ について、$b_2 = \frac{3}{2}$、$b_3 + b_4 = 18$ が与えられている。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の項のうち、整数となる項を小さい順に並べてできる数列を $\{c_n\}$ とする。このとき、$\sum_{k=1}^n b_k c_k$ を $n$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

$a_n$ の公差を $d$ とすると、$a_2 = a_1 + d = 2$。また、$a_3 + a_4 + a_5 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 4d) = 3a_1 + 9d = 10$。

$a_1 = 2 - d$ より、$3(2 - d) + 9d = 6 - 3d + 9d = 6 + 6d = 10$。よって、$6d = 4$ より、$d = \frac{2}{3}$。

$a_1 = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$。

したがって、$a_n = a_1 + (n-1)d = \frac{4}{3} + (n-1)\frac{2}{3} = \frac{4 + 2n - 2}{3} = \frac{2n + 2}{3} = \frac{2}{3}(n+1)$。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

$b_n$ の公比を $r$ とすると、$b_2 = b_1 r = \frac{3}{2}$。また、$b_3 + b_4 = b_1 r^2 + b_1 r^3 = b_1 r^2 (1 + r) = 18$。

$b_1 = \frac{3}{2r}$ より、$\frac{3}{2r} r^2 (1 + r) = \frac{3}{2}r(1+r) = 18$。

$r(1+r) = 12$。$r^2 + r - 12 = 0$。$(r+4)(r-3) = 0$。$r$ は正なので、$r = 3$。

$b_1 = \frac{3}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2}$。

したがって、$b_n = b_1 r^{n-1} = \frac{1}{2} \cdot 3^{n-1}$。

(3) 数列 $\{c_n\}$ を求める。

$a_n = \frac{2}{3}(n+1)$ が整数となるのは、$n+1$ が $3$ の倍数となるときである。すなわち、$n+1 = 3k$（$k$ は整数）のとき、$n = 3k - 1$。

したがって、$c_k = a_{3k-1} = \frac{2}{3}((3k-1)+1) = \frac{2}{3}(3k) = 2k$。

数列 $\{c_n\}$ は $2, 4, 6, 8, \dots$。

$\sum_{k=1}^n b_k c_k = \sum_{k=1}^n (\frac{1}{2} \cdot 3^{k-1}) (2k) = \sum_{k=1}^n k \cdot 3^{k-1} = 1 \cdot 3^0 + 2 \cdot 3^1 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$。

$S_n = \sum_{k=1}^n k \cdot 3^{k-1} = 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$。

$3 S_n = 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n$。

$-2 S_n = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n = \frac{1(3^n - 1)}{3-1} - n \cdot 3^n = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n$。

$S_n = -\frac{1}{2}(\frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n) = \frac{1}{4}(2n \cdot 3^n - 3^n + 1) = \frac{(2n - 1)3^n + 1}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{2}{3}(n+1)$

(2) $b_n = \frac{1}{2} \cdot 3^{n-1}$

(3) $\sum_{k=1}^n b_k c_k = \frac{(2n-1)3^n + 1}{4}$