与えられた方程式 $(x^2 + 4x)^2 + 2(x^2 + 4x) - 35 = 0$ を解いて、$x$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $(x^2 + 4x)^2 + 2(x^2 + 4x) - 35 = 0$ を解いて、$x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 4x$ を $u$ と置換する。すると、与えられた方程式は

$u^2 + 2u - 35 = 0$

となる。

この2次方程式を因数分解する。

$(u + 7)(u - 5) = 0$

よって、$u = -7$ または $u = 5$ となる。

$u = x^2 + 4x$ であるから、以下の2つの場合を考える。

(1) $u = -7$ の場合

$x^2 + 4x = -7$

$x^2 + 4x + 7 = 0$

解の公式を用いて、$x$ を求める。

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-4 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -2 \pm i\sqrt{3}$

(2) $u = 5$ の場合

$x^2 + 4x = 5$

$x^2 + 4x - 5 = 0$

$(x + 5)(x - 1) = 0$

よって、$x = -5$ または $x = 1$ となる。

したがって、$x = -5, 1, -2 + i\sqrt{3}, -2 - i\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$x = -5, 1, -2 + i\sqrt{3}, -2 - i\sqrt{3}$