2次方程式 $x^2 - 14x + m = 0$ の2つの解の比が $3:4$ であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 14x + m = 0$ の2つの解の比が $3:4$ であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの解の比が $3:4$ であるので、2つの解を $3\alpha$ と $4\alpha$ （$\alpha \neq 0$）と置くことができる。

解と係数の関係より、

解の和は $3\alpha + 4\alpha = 14$

$7\alpha = 14$

$\alpha = 2$

したがって、2つの解は $3\alpha = 3 \times 2 = 6$ と $4\alpha = 4 \times 2 = 8$ である。

また、解と係数の関係より、解の積は $3\alpha \times 4\alpha = m$

$12\alpha^2 = m$

$\alpha = 2$ を代入して、 $m = 12 \times 2^2 = 12 \times 4 = 48$

よって、$m=48$ であり、2つの解は $6$ と $8$ である。

3. 最終的な答え

$m = 48$

2つの解は $6$ と $8$