次の不定積分を求めなさい。 $\int (2x^3 + 6x^2 - 3x - 1) \, dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めなさい。

$\int (2x^3 + 6x^2 - 3x - 1) \, dx$

2. 解き方の手順

不定積分を計算するために、各項を個別に積分します。

$x^n$ の不定積分は $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （$C$ は積分定数）です。

* $2x^3$ の積分： $2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{1}{2}x^4$

* $6x^2$ の積分： $6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3$

* $-3x$ の積分： $-3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -3 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{3}{2}x^2$

* $-1$ の積分： $-1 \cdot x = -x$

したがって、不定積分は次のようになります。

$$\int (2x^3 + 6x^2 - 3x - 1) \, dx = \frac{1}{2}x^4 + 2x^3 - \frac{3}{2}x^2 - x + C$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}x^4 + 2x^3 - \frac{3}{2}x^2 - x + C$