2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ が実数の解をもたないときの定数 $m$ の値の範囲と、2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ の解が区間 $0 \leq x \leq 1$ を含むような定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ が実数の解をもたないときの定数 $m$ の値の範囲と、2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ の解が区間 $0 \leq x \leq 1$ を含むような定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + mx + m < 0$ が実数解を持たない場合

$x^2 + mx + m = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D < 0$ であれば良い。

$D = m^2 - 4m < 0$

$m(m - 4) < 0$

したがって、$0 < m < 4$

(2) $x^2 + mx + m < 0$ の解が $0 \leq x \leq 1$ を含む場合

$f(x) = x^2 + mx + m$ とおく。$f(x) < 0$ となる区間が $0 \leq x \leq 1$ を含む必要があるので、以下の条件を考える。

i) $f(x)=0$ が異なる2つの実数解を持ち、そのうち少なくとも1つが区間 $(0,1)$ に含まれる。

ii) $f(0) < 0$ または $f(1) < 0$であれば、$0 \leq x \leq 1$ に解が存在する。

$f(0) = 0^2 + m(0) + m = m$

$f(1) = 1^2 + m(1) + m = 1 + 2m$

$f(0) < 0$ のとき、$m < 0$

$f(1) < 0$ のとき、$1 + 2m < 0$ より $m < -\frac{1}{2}$

次に判別式 $D = m^2 - 4m > 0$ が必要になる。

$m(m - 4) > 0$

$m < 0$ または $m > 4$

$f(0) < 0$ かつ $f(1) > 0$ のとき、$m < 0$ かつ $1+2m > 0$ より $-\frac{1}{2} < m < 0$

$f(0) > 0$ かつ $f(1) < 0$ のとき、$m > 0$ かつ $1+2m < 0$ となる $m$ は存在しない。

$f(0) < 0$ かつ $f(1) < 0$ のとき、$m < 0$ かつ $1+2m < 0$ より $m < -\frac{1}{2}$

したがって、$m < -\frac{1}{2}$ または $-\frac{1}{2} < m < 0$ つまり、$m<0$

まとめると、判別式 $D > 0$ より、$m < 0$ または $m > 4$ が必要で、$m < 0$ のとき、$0 \leq x \leq 1$ に解が存在する。

(1)と(2)を合わせた条件を考えると、

(1)より、$0 < m < 4$

(2)より、$m < 0$ または $m > 4$

しかし、問題文は「または」ではなく、「また」でつながれているため、両方の条件を満たす必要がある。

$f(0)<0$ または $f(1)<0$ で、$x^2 + mx + m < 0$ の解が $0 \le x \le 1$ を含む条件を考える。

3. 最終的な答え

$0 < m < 4$ のとき、$x^2 + mx + m < 0$ は実数解を持たない。

$m < 0$ のとき、$x^2 + mx + m < 0$ の解は $0 \leq x \leq 1$ を含む。

したがって、求める $m$ の値の範囲は

(1) $0 < m < 4$

(2) $m < 0$