与えられた高次方程式と高次不等式を解く問題です。ここでは、(1)、(2)、(3)、(4)、(5)及び(6)を取り上げます。 (1) $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$ (2) $x^4 + x^2 + 1 = 0$ (3) $x^4 - 13x^2 + 36 > 0$ (4) $x^4 - 1 < 0$ (5) $x^4 - 6x^3 + 9x^2 + 4x - 12 \le 0$ (6) $x^4 - x^2 - 20 > 0$

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、いくつか解いてみます。

1. 問題の内容

与えられた高次方程式と高次不等式を解く問題です。ここでは、(1)、(2)、(3)、(4)、(5)及び(6)を取り上げます。

(1) $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$

(2) $x^4 + x^2 + 1 = 0$

(3) $x^4 - 13x^2 + 36 > 0$

(4) $x^4 - 1 < 0$

(5) $x^4 - 6x^3 + 9x^2 + 4x - 12 \le 0$

(6) $x^4 - x^2 - 20 > 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$

この方程式は、整数解を探すことから始めます。$x=2$を代入すると、$2^3 - 2^2 + 2 - 6 = 8 - 4 + 2 - 6 = 0$となるので、$x=2$は解の一つです。

したがって、$x-2$を因数に持ちます。多項式を$x-2$で割ると、

$x^3 - x^2 + x - 6 = (x-2)(x^2 + x + 3)$

となります。

$x^2 + x + 3 = 0$の解は、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(3)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$となります。

(2) $x^4 + x^2 + 1 = 0$

$x^2 = t$とすると、$t^2 + t + 1 = 0$となります。この解は、$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

$x^2 = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} = e^{\pm i2\pi/3}$となるので，$x = e^{\pm i\pi/3}, e^{\pm i4\pi/3}$。

つまり$x = \cos(\pi/3) \pm i\sin(\pi/3), \cos(4\pi/3) \pm i\sin(4\pi/3)$

$x = \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $x^4 - 13x^2 + 36 > 0$

$t = x^2$とすると、$t^2 - 13t + 36 > 0$となります。

$(t-4)(t-9) > 0$なので、$t < 4$または$t > 9$。

$x^2 < 4$より$-2 < x < 2$。

$x^2 > 9$より$x < -3$または$x > 3$。

したがって、$x < -3$または$-2 < x < 2$または$x > 3$。

(4) $x^4 - 1 < 0$

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) < 0$

$x^2 + 1$は常に正なので、$x^2 - 1 < 0$。

$(x-1)(x+1) < 0$

$-1 < x < 1$

(5) $x^4 - 6x^3 + 9x^2 + 4x - 12 \le 0$

これは少し複雑です。整数解を探すと、$x=1,2,3$などで確認できます。

$x=1$のとき、$1 - 6 + 9 + 4 - 12 = -4 \neq 0$

$x=-1$のとき、$1 + 6 + 9 - 4 - 12 = 0$。よって$x+1$を因数に持ちます。

$x=2$のとき、$16 - 48 + 36 + 8 - 12 = 0$。よって$x-2$を因数に持ちます。

$x^4 - 6x^3 + 9x^2 + 4x - 12 = (x+1)(x-2)(x^2-5x+6) = (x+1)(x-2)(x-2)(x-3)$

$(x+1)(x-2)^2(x-3) \le 0$。

$(x-2)^2$は常に0以上なので、$(x+1)(x-3) \le 0$。

$-1 \le x \le 3$。ただし、$x=2$。

(6) $x^4 - x^2 - 20 > 0$

$t = x^2$とすると、$t^2 - t - 20 > 0$。

$(t-5)(t+4) > 0$なので、$t > 5$または$t < -4$。

$x^2 > 5$より、$x < -\sqrt{5}$または$x > \sqrt{5}$。

$x^2 < -4$は実数解を持たない。

したがって、$x < -\sqrt{5}$または$x > \sqrt{5}$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$

(2) $x = \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $x < -3, -2 < x < 2, x > 3$

(4) $-1 < x < 1$

(5) $-1 \le x \le 3$

(6) $x < -\sqrt{5}, x > \sqrt{5}$