$a$を定数とする。$-5 \le x \le -3$において、関数$y = x^2 - 4ax + 2x + 4a^2 - 4a$の最小値を、以下の3つの場合に分けて求める。 (1) $a \le -2$ のとき (2) $-2 \le a \le -1$ のとき (3) $-1 \le a$ のとき

1. 問題の内容

$a$を定数とする。$-5 \le x \le -3$において、関数$y = x^2 - 4ax + 2x + 4a^2 - 4a$の最小値を、以下の3つの場合に分けて求める。

(1) $a \le -2$ のとき

(2) $-2 \le a \le -1$ のとき

(3) $-1 \le a$ のとき

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = x^2 - 4ax + 2x + 4a^2 - 4a = (x^2 + (2 - 4a)x) + 4a^2 - 4a = (x + (1 - 2a))^2 - (1 - 2a)^2 + 4a^2 - 4a = (x - (2a - 1))^2 - (1 - 4a + 4a^2) + 4a^2 - 4a = (x - (2a - 1))^2 - 1 + 4a - 4a^2 + 4a^2 - 4a = (x - (2a - 1))^2 - 1$

したがって、$y = (x - (2a - 1))^2 - 1$となる。

この関数の軸は$x = 2a - 1$である。定義域は$-5 \le x \le -3$である。

(1) $a \le -2$ のとき、$2a - 1 \le -5$なので、軸は定義域の左側にある。

よって、$x = -3$のときに最小値をとる。

$y(-3) = (-3)^2 - 4a(-3) + 2(-3) + 4a^2 - 4a = 9 + 12a - 6 + 4a^2 - 4a = 4a^2 + 8a + 3$

(2) $-2 \le a \le -1$ のとき、$-5 \le 2a - 1 \le -3$なので、軸は定義域内にある。

よって、$x = 2a - 1$のときに最小値をとる。

このときの最小値は、$y = -1$

(3) $-1 \le a$ のとき、$-3 \le 2a - 1$なので、軸は定義域の右側にある。

よって、$x = -5$のときに最小値をとる。

$y(-5) = (-5)^2 - 4a(-5) + 2(-5) + 4a^2 - 4a = 25 + 20a - 10 + 4a^2 - 4a = 4a^2 + 16a + 15$

3. 最終的な答え

$a \le -2$ のとき、$4a^2 + 8a + 3$

$-2 \le a \le -1$ のとき、$-1$

$-1 \le a$ のとき、$4a^2 + 16a + 15$