複素数 $z = 2 + i$ が与えられたとき、複素数平面上の3点 $O(0)$, $A(z)$, $B(z^{-1})$ を頂点とする三角形 $OAB$ の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z = 2 + i$ が与えられたとき、複素数平面上の3点 $O(0)$, $A(z)$, $B(z^{-1})$ を頂点とする三角形 $OAB$ の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z^{-1}$ を計算します。

$$z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{2+i} = \frac{2-i}{(2+i)(2-i)} = \frac{2-i}{4 - (i)^2} = \frac{2-i}{4 - (-1)} = \frac{2-i}{5} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$$

複素数平面上で、点 $A(z)$ は $(2, 1)$、点 $B(z^{-1})$ は $(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5})$ で表されます。

三角形 $OAB$ の面積は、ベクトル $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ によって作られる平行四辺形の面積の半分として計算できます。

$\vec{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\vec{OB} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5} \\ -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$

平行四辺形の面積は、これらのベクトルから作られる行列の行列式の絶対値で与えられます。

$$\left| \begin{vmatrix} 2 & \frac{2}{5} \\ 1 & -\frac{1}{5} \end{vmatrix} \right| = \left| 2 \cdot (-\frac{1}{5}) - \frac{2}{5} \cdot 1 \right| = \left| -\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \right| = \left| -\frac{4}{5} \right| = \frac{4}{5}$$

三角形 $OAB$ の面積は、この平行四辺形の面積の半分なので、

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$$

3. 最終的な答え

三角形OABの面積は $\frac{2}{5}$ です。