半径1の円において、円の中心をO、円周上の定点をAとする。円周上に点Qをとり、$\angle POA = \theta$ とする。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ である。三角形APQの面積を$S(\theta)$ とするとき、$\lim_{\theta \to 0} \frac{S(\theta)}{\theta^2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

半径1の円において、円の中心をO、円周上の定点をAとする。円周上に点Qをとり、$\angle POA = \theta$ とする。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ である。三角形APQの面積を$S(\theta)$ とするとき、$\lim_{\theta \to 0} \frac{S(\theta)}{\theta^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点Qの座標を求める。Aの座標を(1, 0)とすると、Qの座標は$(\cos \theta, \sin \theta)$となる。

次に、点Pの座標を求める。APはOAに直交するので、Pの座標は$(1, \sin \theta)$と表せる。

三角形APQの面積$S(\theta)$は、

$S(\theta) = \frac{1}{2} \cdot AP \cdot (1 - \cos \theta)$

$AP = |\sin \theta - 0| = \sin \theta$

したがって、

$S(\theta) = \frac{1}{2} \sin \theta (1 - \cos \theta)$

求める極限は

$\lim_{\theta \to 0} \frac{S(\theta)}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\frac{1}{2} \sin \theta (1 - \cos \theta)}{\theta^2}$

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ と $\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ を利用する。

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\frac{1}{2} \sin \theta (1 - \cos \theta)}{\theta^2} = \frac{1}{2} \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \cdot \frac{1 - \cos \theta}{\theta}$

$= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta} = \frac{1}{2} \lim_{\theta \to 0} \frac{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}{\theta (1 + \cos \theta)}$

$= \frac{1}{2} \lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos^2 \theta}{\theta (1 + \cos \theta)} = \frac{1}{2} \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin^2 \theta}{\theta (1 + \cos \theta)}$

$= \frac{1}{2} \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \cdot \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{0}{1 + 1} = 0$

ここで、$1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$を用いると、

$\lim_{\theta \to 0} \frac{S(\theta)}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\frac{1}{2} \sin \theta (1 - \cos \theta)}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\frac{1}{2} \sin \theta (2 \sin^2 (\frac{\theta}{2}))}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \frac{\sin^2 (\frac{\theta}{2})}{\theta} = \lim_{\theta \to 0} 1 \cdot \frac{\sin^2 (\frac{\theta}{2})}{\theta}$

$= \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin (\frac{\theta}{2})}{\frac{\theta}{2}} \cdot \sin (\frac{\theta}{2}) \cdot \frac{1}{2} = 1 \cdot 0 \cdot \frac{1}{2} = 0$

3. 最終的な答え

0