異なる色の9個の玉を、以下の方法で分ける場合の数を求める。 (1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける。 (2) A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける。 (3) 3個ずつの3つの組に分ける。 (4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

確率論・統計学組み合わせ順列場合の数重複組合せ
2025/7/3

1. 問題の内容

異なる色の9個の玉を、以下の方法で分ける場合の数を求める。
(1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける。
(2) A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける。
(3) 3個ずつの3つの組に分ける。
(4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 4個、3個、2個の組に分ける場合、まず9個から4個を選び、次に残りの5個から3個を選び、最後に残りの2個から2個を選ぶ。
よって、計算式は以下のようになる。
9C4×5C3×2C2=9!4!5!×5!3!2!×2!2!0!=9!4!3!2!_9C_4 \times _5C_3 \times _2C_2 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{9!}{4!3!2!}
=9×8×7×6×5×4×3×2×1(4×3×2×1)(3×2×1)(2×1)=126×10×1=1260= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = 126 \times 10 \times 1 = 1260
(2) A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける場合、まず9個からAに3個選び、次に残りの6個からBに3個選び、最後に残りの3個からCに3個を選ぶ。
9C3×6C3×3C3=9!3!6!×6!3!3!×3!3!0!=9!3!3!3!_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!}
=9×8×7×6×5×4×3×2×1(3×2×1)(3×2×1)(3×2×1)=84×20×1=1680= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = 84 \times 20 \times 1 = 1680
(3) 3個ずつの3つの組に分ける場合、まず9個から3個を選び、次に残りの6個から3個を選び、最後に残りの3個から3個を選ぶ。ただし、3つの組には区別がないので、3!で割る必要がある。
9C3×6C3×3C33!=13!×9!3!6!×6!3!3!×3!3!0!=9!3!3!3!3!=16806=280\frac{_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3}{3!} = \frac{1}{3!} \times \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!3!} = \frac{1680}{6} = 280
(4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける場合、まず9個から2個を選び、次に残りの7個から2個を選び、次に残りの5個から2個を選び、最後に残りの3個から3個を選ぶ。ただし、2個の組が3つあるので、3!で割る必要がある。
9C2×7C2×5C2×3C33!=13!×9!2!7!×7!2!5!×5!2!3!×3!3!0!=9!2!2!2!3!3!=362880(2×2×2×6×6)=362880288=1260\frac{_9C_2 \times _7C_2 \times _5C_2 \times _3C_3}{3!} = \frac{1}{3!} \times \frac{9!}{2!7!} \times \frac{7!}{2!5!} \times \frac{5!}{2!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{2!2!2!3!3!} = \frac{362880}{(2 \times 2 \times 2 \times 6 \times 6)} = \frac{362880}{288} = 1260

3. 最終的な答え

(1) 1260通り
(2) 1680通り
(3) 280通り
(4) 1260通り

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