導関数 $F'(x) = 3x^2 - 4x$ と条件 $F(2) = 3$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

解析学積分導関数積分定数関数
2025/3/31

1. 問題の内容

導関数 F(x)=3x24xF'(x) = 3x^2 - 4x と条件 F(2)=3F(2) = 3 を満たす関数 F(x)F(x) を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、導関数 F(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。
F(x)=F(x)dx=(3x24x)dxF(x) = \int F'(x) dx = \int (3x^2 - 4x) dx
積分を実行すると、
F(x)=x32x2+CF(x) = x^3 - 2x^2 + CCCは積分定数)
次に、F(2)=3F(2) = 3 という条件を使って積分定数 CC を求めます。
F(2)=232(22)+C=88+C=CF(2) = 2^3 - 2(2^2) + C = 8 - 8 + C = C
したがって、C=3C = 3 となります。
最後に、CC の値を F(x)F(x) に代入します。
F(x)=x32x2+3F(x) = x^3 - 2x^2 + 3

3. 最終的な答え

F(x)=x32x2+3F(x) = x^3 - 2x^2 + 3

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