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定積分 $\int_{1}^{4} (2x-2)dx$ を計算します。

解析学定積分積分不定積分計算
2025/3/31

1. 問題の内容

定積分 ∫14(2x−2)dx\int_{1}^{4} (2x-2)dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 2x−22x-2 の不定積分を求めます。
2x2x の不定積分は x2x^2 であり、−2-2 の不定積分は −2x-2x です。
したがって、2x−22x-2 の不定積分は x2−2x+Cx^2 - 2x + C （CCは積分定数）となります。
次に、定積分の定義に従って、不定積分に積分区間の上限と下限を代入したものの差を計算します。
具体的には、
[(4)2−2(4)]−[(1)2−2(1)][(4)^2 - 2(4)] - [(1)^2 - 2(1)]
を計算します。
42=164^2 = 16 であり、2(4)=82(4) = 8 であるため、42−2(4)=16−8=84^2 - 2(4) = 16 - 8 = 8 となります。
12=11^2 = 1 であり、2(1)=22(1) = 2 であるため、12−2(1)=1−2=−11^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1 となります。
したがって、定積分の値は 8−(−1)=8+1=98 - (-1) = 8 + 1 = 9 となります。

3. 最終的な答え

9

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