定積分 $\int_{-3}^{2} (3x^2 - 3) dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-3}^{2} (3x^2 - 3) dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $3x^2 - 3$ の不定積分を求めます。

$3x^2$ の不定積分は $x^3$ であり、$-3$ の不定積分は $-3x$ であるため、

$3x^2 - 3$ の不定積分は $x^3 - 3x + C$（$C$ は積分定数）となります。

定積分を計算するには、まず不定積分を求め、その不定積分の積分区間の上限と下限での値を求め、その差を計算します。

定積分の公式は次の通りです。

$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$

ここで、$F(x)$ は $f(x)$ の不定積分です。

今回の場合は、$f(x) = 3x^2 - 3$ であり、$a = -3$、$b = 2$ です。

$F(x) = x^3 - 3x$ とすると（積分定数は無視できます）、

$F(2) = (2)^3 - 3(2) = 8 - 6 = 2$

$F(-3) = (-3)^3 - 3(-3) = -27 + 9 = -18$

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_{-3}^{2} (3x^2 - 3) dx = F(2) - F(-3) = 2 - (-18) = 2 + 18 = 20$

3. 最終的な答え

20