与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。 (a) $A^2$ を計算します。 (b) 行列式 $|A|$ を計算します。 (c) 逆行列 $A^{-1}$ を計算します。 (d) $AX = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ を満たす $3 \times 3$ 行列 $X$ を計算します。

代数学行列行列式逆行列線形代数
2025/7/3

1. 問題の内容

与えられた行列 A=[312231111]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} に対して、以下の問題を解きます。
(a) A2A^2 を計算します。
(b) 行列式 A|A| を計算します。
(c) 逆行列 A1A^{-1} を計算します。
(d) AX=[111011001]AX = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} を満たす 3×33 \times 3 行列 XX を計算します。

2. 解き方の手順

(a) A2A^2 の計算
A2=A×AA^2 = A \times A なので、行列の積を計算します。
A2=[312231111][312231111]=[33+12+2131+13+2(1)32+1(1)+2123+32+(1)121+33+(1)(1)22+3(1)+(1)113+(1)2+1111+(1)3+1(1)12+(1)(1)+11]=[134711120234]A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3*3+1*2+2*1 & 3*1+1*3+2*(-1) & 3*2+1*(-1)+2*1 \\ 2*3+3*2+(-1)*1 & 2*1+3*3+(-1)*(-1) & 2*2+3*(-1)+(-1)*1 \\ 1*3+(-1)*2+1*1 & 1*1+(-1)*3+1*(-1) & 1*2+(-1)*(-1)+1*1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 4 & 7 \\ 11 & 12 & 0 \\ 2 & -3 & 4 \end{bmatrix}
(b) 行列式 A|A| の計算
サラスの公式を用いて行列式を計算します。
A=(331+1(1)1+22(1))(132+(1)(1)3+121)=(914)(6+3+2)=411=7|A| = (3*3*1 + 1*(-1)*1 + 2*2*(-1)) - (1*3*2 + (-1)*(-1)*3 + 1*2*1) = (9 - 1 - 4) - (6 + 3 + 2) = 4 - 11 = -7
(c) 逆行列 A1A^{-1} の計算
余因子行列を計算し、それを行列式で割ることで逆行列を求めます。
まず、余因子行列を計算します。
C11=(31(1)(1))=31=2C_{11} = (3*1 - (-1)*(-1)) = 3 - 1 = 2
C12=(21(1)1)=(2+1)=3C_{12} = -(2*1 - (-1)*1) = -(2 + 1) = -3
C13=(2(1)31)=23=5C_{13} = (2*(-1) - 3*1) = -2 - 3 = -5
C21=(112(1))=(1+2)=3C_{21} = -(1*1 - 2*(-1)) = -(1 + 2) = -3
C22=(3121)=32=1C_{22} = (3*1 - 2*1) = 3 - 2 = 1
C23=(3(1)11)=(31)=4C_{23} = -(3*(-1) - 1*1) = -(-3 - 1) = 4
C31=(1(1)23)=16=7C_{31} = (1*(-1) - 2*3) = -1 - 6 = -7
C32=(3(1)22)=(34)=7C_{32} = -(3*(-1) - 2*2) = -(-3 - 4) = 7
C33=(3312)=92=7C_{33} = (3*3 - 1*2) = 9 - 2 = 7
余因子行列は [235314777]\begin{bmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -3 & 1 & 4 \\ -7 & 7 & 7 \end{bmatrix}
転置行列は [237317547]\begin{bmatrix} 2 & -3 & -7 \\ -3 & 1 & 7 \\ -5 & 4 & 7 \end{bmatrix}
したがって、逆行列は A1=1A[237317547]=17[237317547]=[2/73/713/71/715/74/71]A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} 2 & -3 & -7 \\ -3 & 1 & 7 \\ -5 & 4 & 7 \end{bmatrix} = \frac{1}{-7} \begin{bmatrix} 2 & -3 & -7 \\ -3 & 1 & 7 \\ -5 & 4 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/7 & 3/7 & 1 \\ 3/7 & -1/7 & -1 \\ 5/7 & -4/7 & -1 \end{bmatrix}
(d) AX=[111011001]AX = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} を満たす XX の計算
AX=BAX = B とすると、X=A1BX = A^{-1}B で求められます。
X=[2/73/713/71/715/74/71][111011001]=[2/72/7+3/72/7+3/7+13/73/71/73/71/715/75/74/75/74/71]=[2/71/78/73/72/72/75/71/76/7]X = \begin{bmatrix} -2/7 & 3/7 & 1 \\ 3/7 & -1/7 & -1 \\ 5/7 & -4/7 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/7 & -2/7+3/7 & -2/7+3/7+1 \\ 3/7 & 3/7-1/7 & 3/7-1/7-1 \\ 5/7 & 5/7-4/7 & 5/7-4/7-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/7 & 1/7 & 8/7 \\ 3/7 & 2/7 & -2/7 \\ 5/7 & 1/7 & -6/7 \end{bmatrix}

3. 最終的な答え

(a) A2=[134711120234]A^2 = \begin{bmatrix} 13 & 4 & 7 \\ 11 & 12 & 0 \\ 2 & -3 & 4 \end{bmatrix}
(b) A=7|A| = -7
(c) A1=[2/73/713/71/715/74/71]A^{-1} = \begin{bmatrix} -2/7 & 3/7 & 1 \\ 3/7 & -1/7 & -1 \\ 5/7 & -4/7 & -1 \end{bmatrix}
(d) X=[2/71/78/73/72/72/75/71/76/7]X = \begin{bmatrix} -2/7 & 1/7 & 8/7 \\ 3/7 & 2/7 & -2/7 \\ 5/7 & 1/7 & -6/7 \end{bmatrix}

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