x軸方向に1、y軸方向に-3だけ平行移動すると、3点(0,3), (1,2), (-1,10)を通る関数を求めよ。

1. 問題の内容

x軸方向に1、y軸方向に-3だけ平行移動すると、3点(0,3), (1,2), (-1,10)を通る関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、平行移動前の関数を$y=f(x)$とします。

平行移動後の関数は$y=f(x-1)-3$となります。

この関数が3点(0,3), (1,2), (-1,10)を通るので、それぞれの点を代入して関係式を求めます。

点(0,3)を代入すると、

$3 = f(0-1) - 3$

$3 = f(-1) - 3$

$f(-1) = 6$

点(1,2)を代入すると、

$2 = f(1-1) - 3$

$2 = f(0) - 3$

$f(0) = 5$

点(-1,10)を代入すると、

$10 = f(-1-1) - 3$

$10 = f(-2) - 3$

$f(-2) = 13$

次に、平行移動前の関数$f(x)$を仮定します。今回は、2次関数$f(x) = ax^2 + bx + c$と仮定して計算を進めます。

$f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c = 6$

$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c = 5$

$f(-2) = a(-2)^2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c = 13$

$c=5$を代入すると、

$a - b + 5 = 6$

$a - b = 1$

$4a - 2b + 5 = 13$

$4a - 2b = 8$

$2a - b = 4$

$2a - b = 4$

$a - b = 1$

上の式から下の式を引くと、

$a = 3$

$a - b = 1$に$a=3$を代入すると、

$3 - b = 1$

$b = 2$

したがって、$f(x) = 3x^2 + 2x + 5$

平行移動後の関数は、$y = f(x-1) - 3$なので、

$y = 3(x-1)^2 + 2(x-1) + 5 - 3$

$y = 3(x^2 - 2x + 1) + 2x - 2 + 2$

$y = 3x^2 - 6x + 3 + 2x$

$y = 3x^2 - 4x + 3$

3. 最終的な答え

$y = 3x^2 - 4x + 3$