数列 $\{a_n\}$ は $\sum_{k=1}^n a_k = n^2 + 5n$ を満たす。数列 $\{b_n\}$ は $b_1 = 8$, $b_{n+1} - b_n = 2a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) を満たす。数列 $\{c_n\}$ は $c_n = (\sqrt{2})^{n-2}$ を満たす。 (1) $a_1$ を求め、$a_n$ を $n$ の式で表す。 (2) 数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $\{c_n\}$ についての記述として、次の (0) ~ (9) のうち、正しいものをすべて選ぶ。 (0) 数列 $\{a_n\}$ は等差数列である。 (1) 数列 $\{a_n\}$ は等比数列である。 (2) 数列 $\{b_n\}$ は等差数列である。 (3) 数列 $\{b_n\}$ は等比数列である。 (4) 数列 $\{c_n\}$ は等差数列である。 (5) 数列 $\{c_n\}$ は等比数列である。 (6) 数列 $\{b_n\}$ の階差数列は等差数列である。 (7) 数列 $\{b_n\}$ の階差数列は等比数列である。 (8) 数列 $\{c_n\}$ の階差数列は等差数列である。 (9) 数列 $\{c_n\}$ の階差数列は等比数列である。 (3) $b_n$ を $n$ の式で表し、$\sum_{k=1}^n b_k$ を $n$ の式で表す。ただし、シ < ス とする。 (4) $\sum_{k=1}^n c_k$ を $n$ の式で表す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は $\sum_{k=1}^n a_k = n^2 + 5n$ を満たす。数列 $\{b_n\}$ は $b_1 = 8$, $b_{n+1} - b_n = 2a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) を満たす。数列 $\{c_n\}$ は $c_n = (\sqrt{2})^{n-2}$ を満たす。

(1) $a_1$ を求め、$a_n$ を $n$ の式で表す。

(2) 数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $\{c_n\}$ についての記述として、次の (0) ~ (9) のうち、正しいものをすべて選ぶ。

(0) 数列 $\{a_n\}$ は等差数列である。

(1) 数列 $\{a_n\}$ は等比数列である。

(2) 数列 $\{b_n\}$ は等差数列である。

(3) 数列 $\{b_n\}$ は等比数列である。

(4) 数列 $\{c_n\}$ は等差数列である。

(5) 数列 $\{c_n\}$ は等比数列である。

(6) 数列 $\{b_n\}$ の階差数列は等差数列である。

(7) 数列 $\{b_n\}$ の階差数列は等比数列である。

(8) 数列 $\{c_n\}$ の階差数列は等差数列である。

(9) 数列 $\{c_n\}$ の階差数列は等比数列である。

(3) $b_n$ を $n$ の式で表し、$\sum_{k=1}^n b_k$ を $n$ の式で表す。ただし、シ < ス とする。

(4) $\sum_{k=1}^n c_k$ を $n$ の式で表す。

2. 解き方の手順

(1)

$a_1 = \sum_{k=1}^1 a_k = 1^2 + 5(1) = 1 + 5 = 6$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = \sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k = (n^2 + 5n) - ((n-1)^2 + 5(n-1)) = (n^2 + 5n) - (n^2 - 2n + 1 + 5n - 5) = (n^2 + 5n) - (n^2 + 3n - 4) = 2n + 4$

$n = 1$ のとき、$2(1) + 4 = 6$ となり、$a_1 = 6$ と一致するので、$a_n = 2n + 4$ は $n \ge 1$ で成り立つ。

(2)

数列 $\{a_n\} = \{2n+4\}$ は、初項 $a_1 = 6$, 公差 $2$ の等差数列である。よって、(0) は正しい。

数列 $\{b_n\}$ について、$b_{n+1} - b_n = 2a_n = 2(2n + 4) = 4n + 8$ である。

$b_1 = 8$ であり、$b_{n+1} = b_n + 4n + 8$ であるから、$b_2 = 8 + 4(1) + 8 = 20$, $b_3 = 20 + 4(2) + 8 = 36$, $b_4 = 36 + 4(3) + 8 = 56$ である。

$b_2 - b_1 = 20 - 8 = 12$, $b_3 - b_2 = 36 - 20 = 16$, $b_4 - b_3 = 56 - 36 = 20$ なので、数列 $\{b_n\}$ は等差数列ではない。

$b_2 / b_1 = 20/8 = 5/2$, $b_3 / b_2 = 36/20 = 9/5$ なので、数列 $\{b_n\}$ は等比数列ではない。

$\{b_n\}$ の階差数列は $\{4n + 8\}$ である。これは初項 $12$, 公差 $4$ の等差数列なので、(6) が正しい。

数列 $\{c_n\} = \{ (\sqrt{2})^{n-2} \}$ は、初項 $(\sqrt{2})^{-1} = 1/\sqrt{2}$, 公比 $\sqrt{2}$ の等比数列である。よって、(5) が正しい。

$\{c_n\}$ の階差数列は等差数列でも等比数列でもない。

(3)

$b_{n+1} - b_n = 2a_n = 4n + 8$ より、$n \ge 2$ のとき、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k + 8) = 8 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} k + 8 \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 8 + 4 \frac{(n-1)n}{2} + 8(n-1) = 8 + 2n(n-1) + 8n - 8 = 2n^2 - 2n + 8n = 2n^2 + 6n$

$n = 1$ のとき、$2(1)^2 + 6(1) = 2 + 6 = 8 = b_1$ となるので、$b_n = 2n^2 + 6n$ は $n \ge 1$ で成り立つ。

$\sum_{k=1}^n b_k = \sum_{k=1}^n (2k^2 + 6k) = 2 \sum_{k=1}^n k^2 + 6 \sum_{k=1}^n k = 2 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 6 \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + 3n(n+1) = \frac{n(n+1)(2n+1 + 9)}{3} = \frac{n(n+1)(2n+10)}{3} = \frac{2n(n+1)(n+5)}{3}$

よって、$\sum_{k=1}^n b_k = \frac{2}{3}n(n+1)(n+5)$.

(4)

$\sum_{k=1}^n c_k = \sum_{k=1}^n (\sqrt{2})^{k-2} = \frac{1}{(\sqrt{2})^2} \sum_{k=1}^n (\sqrt{2})^k = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (\sqrt{2})^k = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2} ((\sqrt{2})^n - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{(\sqrt{2})^n - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{(\sqrt{2})^n - 1}{\sqrt{2} - 1} \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{((\sqrt{2})^n - 1)(\sqrt{2} + 1)}{2-1} = \frac{\sqrt{2}}{2} ((\sqrt{2})^n \sqrt{2} + (\sqrt{2})^n - \sqrt{2} - 1) = \frac{\sqrt{2}}{2} ((\sqrt{2})^{n+1} + (\sqrt{2})^n - \sqrt{2} - 1)$

$= \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{2})^{n+1} + \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{2})^n - \frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = (\sqrt{2})^n + \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2})^n - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = (\sqrt{2})^n + (\sqrt{2})^{n-1} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

別の方法で計算する。

$\sum_{k=1}^n c_k = \sum_{k=1}^n (\sqrt{2})^{k-2} = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 + \sqrt{2} + \dots + (\sqrt{2})^{n-2}$

これは初項 $\frac{1}{\sqrt{2}}$, 公比 $\sqrt{2}$ の等比数列の和であるから

$\sum_{k=1}^n c_k = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}((\sqrt{2})^n - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2})^n - 1}{\sqrt{2} (\sqrt{2} - 1)} = \frac{(\sqrt{2})^n - 1}{2 - \sqrt{2}} = \frac{((\sqrt{2})^n - 1)(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{((\sqrt{2})^n - 1)(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{((\sqrt{2})^n - 1)(2 + \sqrt{2})}{2} = \frac{2(\sqrt{2})^n + \sqrt{2} (\sqrt{2})^n - 2 - \sqrt{2}}{2} = (\sqrt{2})^n + \frac{\sqrt{2}}{2} (\sqrt{2})^n - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = (\sqrt{2})^n + (\sqrt{2})^{n-1} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$c_1 = (\sqrt{2})^{-1}$, $c_2 = (\sqrt{2})^0 = 1$, $c_3 = \sqrt{2}$, $c_4 = (\sqrt{2})^2 = 2$, $c_5 = 2\sqrt{2}$

$n=1$: $\frac{1}{\sqrt{2}}$. $\sum_{k=1}^1 c_k = \sqrt{2} + (\sqrt{2})^0 - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + 1 - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$n=2$: $\frac{1}{\sqrt{2}} + 1$. $\sum_{k=1}^2 c_k = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\sum_{k=1}^n c_k = 2n - \sqrt{2} - n$

3. 最終的な答え

(1) ア: 6, イ: 2, ウ: 4

(2) エ: 0, オ: 5, カ: 6

(3) ク: 2, ケ: 6, コ: 2, サ: 3, シ: 1, ス: 5

(4) セ: 2, ソ: 1, タ: ルート2

$\sum_{k=1}^n c_k=(\sqrt{2})^n+(\sqrt{2})^{n-1}-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$