次の定積分を計算します。 $\int_{1}^{3} (x^2 + 3) \, dx + \int_{1}^{3} (-7x^2 - 4x) \, dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} (x^2 + 3) \, dx + \int_{1}^{3} (-7x^2 - 4x) \, dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を一つにまとめます。積分範囲が同じなので、被積分関数を足し合わせることができます。

$\int_{1}^{3} (x^2 + 3) \, dx + \int_{1}^{3} (-7x^2 - 4x) \, dx = \int_{1}^{3} (x^2 + 3 - 7x^2 - 4x) \, dx$

次に、被積分関数を整理します。

$x^2 + 3 - 7x^2 - 4x = -6x^2 - 4x + 3$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{3} (-6x^2 - 4x + 3) \, dx$

次に、不定積分を計算します。

$\int (-6x^2 - 4x + 3) \, dx = -6 \int x^2 \, dx - 4 \int x \, dx + 3 \int 1 \, dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = -2x^3 - 2x^2 + 3x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} (-6x^2 - 4x + 3) \, dx = [-2x^3 - 2x^2 + 3x]_{1}^{3} = (-2(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3)) - (-2(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1))$

$= (-2(27) - 2(9) + 9) - (-2 - 2 + 3) = (-54 - 18 + 9) - (-1) = -63 + 9 + 1 = -54 + 1 = -53$

3. 最終的な答え

-53