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定積分 $\int_{1}^{3} (30x^2 - 20x) dx$ を計算してください。

解析学定積分積分
2025/3/31

1. 問題の内容

定積分 ∫13(30x2−20x)dx\int_{1}^{3} (30x^2 - 20x) dx を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。
∫(30x2−20x)dx=30∫x2dx−20∫xdx=30⋅x33−20⋅x22+C=10x3−10x2+C\int (30x^2 - 20x) dx = 30 \int x^2 dx - 20 \int x dx = 30 \cdot \frac{x^3}{3} - 20 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 10x^3 - 10x^2 + C
次に、定積分の値を求めます。
∫13(30x2−20x)dx=[10x3−10x2]13=(10(3)3−10(3)2)−(10(1)3−10(1)2)=(10(27)−10(9))−(10(1)−10(1))=(270−90)−(10−10)=180−0=180\int_{1}^{3} (30x^2 - 20x) dx = [10x^3 - 10x^2]_{1}^{3} = (10(3)^3 - 10(3)^2) - (10(1)^3 - 10(1)^2) = (10(27) - 10(9)) - (10(1) - 10(1)) = (270 - 90) - (10 - 10) = 180 - 0 = 180

3. 最終的な答え

180

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