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次の定積分を計算してください。 $\int_{1}^{4} (3x^2 - 5x) dx + \int_{1}^{4} (3x^2 + x) dx$

解析学定積分積分計算積分
2025/3/31

1. 問題の内容

次の定積分を計算してください。
∫14(3x2−5x)dx+∫14(3x2+x)dx\int_{1}^{4} (3x^2 - 5x) dx + \int_{1}^{4} (3x^2 + x) dx

2. 解き方の手順

まず、積分区間が同じなので、積分の中身を足し合わせます。
∫14(3x2−5x)dx+∫14(3x2+x)dx=∫14((3x2−5x)+(3x2+x))dx\int_{1}^{4} (3x^2 - 5x) dx + \int_{1}^{4} (3x^2 + x) dx = \int_{1}^{4} ((3x^2 - 5x) + (3x^2 + x)) dx
次に、積分の中身を整理します。
∫14(6x2−4x)dx\int_{1}^{4} (6x^2 - 4x) dx
積分を実行します。
∫14(6x2−4x)dx=[2x3−2x2]14\int_{1}^{4} (6x^2 - 4x) dx = [2x^3 - 2x^2]_{1}^{4}
積分の上端と下端の値を代入して計算します。
[2x3−2x2]14=(2(43)−2(42))−(2(13)−2(12))=(2(64)−2(16))−(2−2)=(128−32)−0=96[2x^3 - 2x^2]_{1}^{4} = (2(4^3) - 2(4^2)) - (2(1^3) - 2(1^2)) = (2(64) - 2(16)) - (2 - 2) = (128 - 32) - 0 = 96

3. 最終的な答え

96

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