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次の定積分を求めなさい。 $\int_{1}^{3} (\frac{3}{11}x^{2} - \frac{1}{11})dx$

解析学定積分積分
2025/3/31

1. 問題の内容

次の定積分を求めなさい。
∫13(311x2−111)dx\int_{1}^{3} (\frac{3}{11}x^{2} - \frac{1}{11})dx

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。
∫(311x2−111)dx=311∫x2dx−111∫dx\int (\frac{3}{11}x^{2} - \frac{1}{11})dx = \frac{3}{11} \int x^{2} dx - \frac{1}{11} \int dx
=311⋅x33−111x+C=x311−x11+C= \frac{3}{11} \cdot \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{11} x + C = \frac{x^{3}}{11} - \frac{x}{11} + C
次に、定積分の値を計算します。
∫13(311x2−111)dx=[x311−x11]13=(3311−311)−(1311−111)\int_{1}^{3} (\frac{3}{11}x^{2} - \frac{1}{11})dx = [\frac{x^{3}}{11} - \frac{x}{11}]_{1}^{3} = (\frac{3^{3}}{11} - \frac{3}{11}) - (\frac{1^{3}}{11} - \frac{1}{11})
=(2711−311)−(111−111)=2411−0=2411= (\frac{27}{11} - \frac{3}{11}) - (\frac{1}{11} - \frac{1}{11}) = \frac{24}{11} - 0 = \frac{24}{11}

3. 最終的な答え

2411\frac{24}{11}

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