自然数 $n$ に対して、等式 $1+5+9+\dots+(4n-3)=n(2n-1)$ を数学的帰納法を用いて証明する問題です。空欄を埋めることで証明を完成させます。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、等式 $1+5+9+\dots+(4n-3)=n(2n-1)$ を数学的帰納法を用いて証明する問題です。空欄を埋めることで証明を完成させます。

2. 解き方の手順

数学的帰納法は以下の手順で行います。

(1) $n=1$ のときを示す。

(2) $n=k$ のとき成り立つと仮定して、$n=k+1$ のときも成り立つことを示す。

(1) $n=1$のとき

左辺は $1$

右辺は $1(2 \times 1 - 1) = 1$

よって、$n=1$のとき等式は成り立つ。

(2) $n=k$のとき、等式

$1+5+9+\dots+(4k-3)=k(2k-1)$

が成り立つと仮定する。

$n=k+1$のとき、等式

$1+5+9+\dots+(4k-3)+(4(k+1)-3)=(k+1)(2(k+1)-1)$

が成り立つことを示す。

$1+5+9+\dots+(4k-3)+(4(k+1)-3)$

$= k(2k-1) + (4(k+1)-3)$

$= k(2k-1) + (4k+4-3)$

$= 2k^2-k+4k+1$

$= 2k^2+3k+1$

$= (k+1)(2k+1)$

$= (k+1)(2(k+1)-1)$

よって、$n=k+1$のときも等式は成り立つ。

(1),(2)より、すべての自然数 $n$ について等式 $1+5+9+\dots+(4n-3)=n(2n-1)$ は成り立つ。

3. 最終的な答え

空欄には以下の内容が記述されるべきです。

(1) $n=1$のとき

左辺は $1$

右辺は $1(2 \times 1 - 1) = 1$

よって、$n=1$のとき等式は成り立つ。

(2) $n=k$のとき、$1+5+9+\dots+(4k-3)=k(2k-1)$が成り立つと仮定すると、$n=k+1$のとき

$1+5+9+\dots+(4k-3)+(4(k+1)-3)=k(2k-1)+(4(k+1)-3) = (k+1)(2(k+1)-1)$

より、$n=k+1$のときも等式は成り立つ。

(1),(2)より、すべての自然数 $n$ について等式 $1+5+9+\dots+(4n-3)=n(2n-1)$ は成り立つ。