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与えられた定積分の計算をします。具体的には、$\int_{1}^{3} (3x^2 + 3) \, dx - \int_{1}^{3} (9x^2 - 2) \, dx$ の値を求めます。

解析学定積分積分計算
2025/3/31

1. 問題の内容

与えられた定積分の計算をします。具体的には、∫13(3x2+3) dx−∫13(9x2−2) dx\int_{1}^{3} (3x^2 + 3) \, dx - \int_{1}^{3} (9x^2 - 2) \, dx の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、積分範囲が同じなので、積分の中身をまとめて一つの積分として計算します。
∫13(3x2+3) dx−∫13(9x2−2) dx=∫13[(3x2+3)−(9x2−2)] dx\int_{1}^{3} (3x^2 + 3) \, dx - \int_{1}^{3} (9x^2 - 2) \, dx = \int_{1}^{3} [(3x^2 + 3) - (9x^2 - 2)] \, dx
次に、積分の中身を整理します。
∫13(3x2+3−9x2+2) dx=∫13(−6x2+5) dx\int_{1}^{3} (3x^2 + 3 - 9x^2 + 2) \, dx = \int_{1}^{3} (-6x^2 + 5) \, dx
次に、不定積分を計算します。
∫(−6x2+5) dx=−6⋅x33+5x+C=−2x3+5x+C\int (-6x^2 + 5) \, dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} + 5x + C = -2x^3 + 5x + C
次に、定積分を計算します。
∫13(−6x2+5) dx=[−2x3+5x]13=(−2(3)3+5(3))−(−2(1)3+5(1))=(−2(27)+15)−(−2+5)=(−54+15)−(3)=−39−3=−42\int_{1}^{3} (-6x^2 + 5) \, dx = [-2x^3 + 5x]_{1}^{3} = (-2(3)^3 + 5(3)) - (-2(1)^3 + 5(1)) = (-2(27) + 15) - (-2 + 5) = (-54 + 15) - (3) = -39 - 3 = -42

3. 最終的な答え

-42

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