与えられた定積分の計算をします。具体的には、$\int_{1}^{3} (3x^2 + 3) \, dx - \int_{1}^{3} (9x^2 - 2) \, dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた定積分の計算をします。具体的には、$\int_{1}^{3} (3x^2 + 3) \, dx - \int_{1}^{3} (9x^2 - 2) \, dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、積分範囲が同じなので、積分の中身をまとめて一つの積分として計算します。

$\int_{1}^{3} (3x^2 + 3) \, dx - \int_{1}^{3} (9x^2 - 2) \, dx = \int_{1}^{3} [(3x^2 + 3) - (9x^2 - 2)] \, dx$

次に、積分の中身を整理します。

$\int_{1}^{3} (3x^2 + 3 - 9x^2 + 2) \, dx = \int_{1}^{3} (-6x^2 + 5) \, dx$

次に、不定積分を計算します。

$\int (-6x^2 + 5) \, dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} + 5x + C = -2x^3 + 5x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} (-6x^2 + 5) \, dx = [-2x^3 + 5x]_{1}^{3} = (-2(3)^3 + 5(3)) - (-2(1)^3 + 5(1)) = (-2(27) + 15) - (-2 + 5) = (-54 + 15) - (3) = -39 - 3 = -42$

3. 最終的な答え

-42