次の定積分を計算してください。 $\int_{-1}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx - \int_{-3}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx + \int_{-3}^{-1} (2x^2 - 9x + 11) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算してください。

$\int_{-1}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx - \int_{-3}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx + \int_{-3}^{-1} (2x^2 - 9x + 11) dx$

2. 解き方の手順

定積分の性質を利用します。

$\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$

$\int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx$

まず、与えられた式を変形します。

$\int_{-1}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx - \int_{-3}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx + \int_{-3}^{-1} (2x^2 - 9x + 11) dx$

$= \int_{-1}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx - \int_{-3}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx - \int_{-1}^{-3} (2x^2 - 9x + 11) dx$

$= \int_{-1}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx - \int_{-3}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx + \int_{-3}^{-1} (2x^2 - 9x + 11) dx$

ここで、$\int_{-3}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx$ を $\int_{-3}^{-1} (2x^2 - 9x + 11) dx + \int_{-1}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx$ に分解します。

すると、

$\int_{-1}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx - \left[ \int_{-3}^{-1} (2x^2 - 9x + 11) dx + \int_{-1}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx \right] + \int_{-3}^{-1} (2x^2 - 9x + 11) dx$

$= \int_{-1}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx - \int_{-3}^{-1} (2x^2 - 9x + 11) dx - \int_{-1}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx + \int_{-3}^{-1} (2x^2 - 9x + 11) dx$

$\int_{-1}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx$ と $-\int_{-1}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx$ は互いに打ち消し合い、$\int_{-3}^{-1} (2x^2 - 9x + 11) dx$ と $-\int_{-3}^{-1} (2x^2 - 9x + 11) dx$ も互いに打ち消し合うので、結果は0となります。

$\int_{-1}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx - \int_{-3}^{3} (2x^2 - 9x + 11) dx + \int_{-3}^{-1} (2x^2 - 9x + 11) dx = 0$

3. 最終的な答え

0