次の定積分を計算してください。 $\int_{1}^{3} (3x^2 - 8x) dx + \int_{3}^{3} (3x^2 - 8x) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算してください。

$\int_{1}^{3} (3x^2 - 8x) dx + \int_{3}^{3} (3x^2 - 8x) dx$

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = 3x^2 - 8x$ とおきます。

定積分の性質より、

$\int_a^a f(x)dx = 0$ なので、$\int_{3}^{3} (3x^2 - 8x) dx = 0$ となります。

したがって、求める定積分は、

$\int_{1}^{3} (3x^2 - 8x) dx$ を計算すればよいことになります。

不定積分 $F(x)$ を計算します。

$F(x) = \int (3x^2 - 8x) dx = 3 \int x^2 dx - 8 \int x dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 8 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^3 - 4x^2 + C$

定積分は、

$\int_{1}^{3} (3x^2 - 8x) dx = [x^3 - 4x^2]_{1}^{3} = (3^3 - 4 \cdot 3^2) - (1^3 - 4 \cdot 1^2) = (27 - 36) - (1 - 4) = -9 - (-3) = -9 + 3 = -6$

3. 最終的な答え

-6