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次の定積分の値を計算します。 $\int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{2}^{-2} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx$

解析学定積分積分計算
2025/3/31

1. 問題の内容

次の定積分の値を計算します。
∫−2−1(5x2+3x+2)dx+∫2−2(5x2+3x+2)dx+∫−12(5x2+3x+2)dx\int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{2}^{-2} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx

2. 解き方の手順

定積分の性質を利用します。
まず、∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx=∫acf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dxという性質を使います。
また、∫aaf(x)dx=0\int_{a}^{a} f(x) dx = 0なので、∫2−2(5x2+3x+2)dx=−∫−22(5x2+3x+2)dx\int_{2}^{-2} (5x^2 + 3x + 2) dx = - \int_{-2}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dxが成り立ちます。
与えられた積分を以下のように変形します。
∫−2−1(5x2+3x+2)dx+∫−22(5x2+3x+2)dx+∫−12(5x2+3x+2)dx\int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{-2}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx
第一項と第三項をまとめます。
∫−2−1(5x2+3x+2)dx+∫−12(5x2+3x+2)dx=∫−22(5x2+3x+2)dx\int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx = \int_{-2}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx
従って、与えられた式は、
∫−2−1(5x2+3x+2)dx+∫−22(5x2+3x+2)dx+∫−12(5x2+3x+2)dx\int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{-2}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx
=−∫−22(5x2+3x+2)dx+∫−22(5x2+3x+2)dx+∫−12(5x2+3x+2)dx= - \int_{-2}^{2} (5x^2 + 3x + 2)dx + \int_{-2}^{2} (5x^2 + 3x + 2)dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx
=−∫−22(5x2+3x+2)dx+∫−2−1(5x2+3x+2)dx+∫−12(5x2+3x+2)dx= - \int_{-2}^{2} (5x^2 + 3x + 2)dx + \int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2)dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2)dx
=0= 0
∫−2−1(5x2+3x+2)dx+∫2−2(5x2+3x+2)dx+∫−12(5x2+3x+2)dx\int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{2}^{-2} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx
=∫−2−1(5x2+3x+2)dx−∫−22(5x2+3x+2)dx+∫−12(5x2+3x+2)dx= \int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) dx - \int_{-2}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx
=∫−2−1(5x2+3x+2)dx+∫−12(5x2+3x+2)dx−∫−22(5x2+3x+2)dx= \int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx - \int_{-2}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx
=∫−22(5x2+3x+2)dx−∫−22(5x2+3x+2)dx= \int_{-2}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx - \int_{-2}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx
=0= 0
∫(5x2+3x+2)dx=53x3+32x2+2x+C\int (5x^2 + 3x + 2) dx = \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C
∫−22(5x2+3x+2)dx=[53x3+32x2+2x]−22 \int_{-2}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx = [\frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x]_{-2}^{2}
=(53(8)+32(4)+2(2))−(53(−8)+32(4)+2(−2))= (\frac{5}{3}(8) + \frac{3}{2}(4) + 2(2)) - (\frac{5}{3}(-8) + \frac{3}{2}(4) + 2(-2))
=403+6+4+403−6+4=803+8=80+243=1043= \frac{40}{3} + 6 + 4 + \frac{40}{3} - 6 + 4 = \frac{80}{3} + 8 = \frac{80+24}{3} = \frac{104}{3}
∫−2−1(5x2+3x+2)dx=[53x3+32x2+2x]−2−1 \int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) dx = [\frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x]_{-2}^{-1}
=(−53+32−2)−(−403+6−4)= (-\frac{5}{3} + \frac{3}{2} - 2) - (-\frac{40}{3} + 6 - 4)
=−53+32−2+403−6+4= -\frac{5}{3} + \frac{3}{2} - 2 + \frac{40}{3} - 6 + 4
=353+32−4=70+9−246=556= \frac{35}{3} + \frac{3}{2} - 4 = \frac{70+9-24}{6} = \frac{55}{6}
∫−12(5x2+3x+2)dx=[53x3+32x2+2x]−12 \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx = [\frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x]_{-1}^{2}
=(403+6+4)−(−53+32−2)= (\frac{40}{3} + 6 + 4) - (-\frac{5}{3} + \frac{3}{2} - 2)
=403+10+53−32+2=453+12−32=15+12−32=27−32=54−32=512= \frac{40}{3} + 10 + \frac{5}{3} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{45}{3} + 12 - \frac{3}{2} = 15 + 12 - \frac{3}{2} = 27 - \frac{3}{2} = \frac{54-3}{2} = \frac{51}{2}
したがって、
∫−2−1(5x2+3x+2)dx−∫−22(5x2+3x+2)dx+∫−12(5x2+3x+2)dx=556−1043+512\int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) dx - \int_{-2}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx = \frac{55}{6} - \frac{104}{3} + \frac{51}{2}
=55−208+1536=208−2086=0= \frac{55-208+153}{6} = \frac{208-208}{6} = 0

3. 最終的な答え

0

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