次の定積分を求めなさい。 $\int_{-1}^{2} (9x^2 + 8x + 7) dx + \int_{2}^{3} (9x^2 + 8x + 7) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めなさい。

$\int_{-1}^{2} (9x^2 + 8x + 7) dx + \int_{2}^{3} (9x^2 + 8x + 7) dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分を求めます。

$\int (9x^2 + 8x + 7) dx = 9 \int x^2 dx + 8 \int x dx + 7 \int dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} + 8 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C = 3x^3 + 4x^2 + 7x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-1}^{2} (9x^2 + 8x + 7) dx = [3x^3 + 4x^2 + 7x]_{-1}^{2} = (3(2^3) + 4(2^2) + 7(2)) - (3(-1)^3 + 4(-1)^2 + 7(-1)) = (24 + 16 + 14) - (-3 + 4 - 7) = 54 - (-6) = 54 + 6 = 60$

$\int_{2}^{3} (9x^2 + 8x + 7) dx = [3x^3 + 4x^2 + 7x]_{2}^{3} = (3(3^3) + 4(3^2) + 7(3)) - (3(2^3) + 4(2^2) + 7(2)) = (81 + 36 + 21) - (24 + 16 + 14) = 138 - 54 = 84$

最後に、二つの定積分を足し合わせます。

$\int_{-1}^{2} (9x^2 + 8x + 7) dx + \int_{2}^{3} (9x^2 + 8x + 7) dx = 60 + 84 = 144$

3. 最終的な答え

144