与えられた定積分の計算を求める問題です。 $ \int_{1}^{4} (6x^2 - 7) \, dx + \int_{4}^{4} (6x^2 - 7) \, dx $

1. 問題の内容

与えられた定積分の計算を求める問題です。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) \, dx + \int_{4}^{4} (6x^2 - 7) \, dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用します。

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{b}^{c} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx$

という公式があります。

今回の問題では、第二項の積分範囲が$4$から$4$なので、積分値は$0$となります。つまり、$\int_{4}^{4} (6x^2 - 7) \, dx = 0$。

したがって、問題は$\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) \, dx$を計算することに帰着します。

まず、$6x^2 - 7$の不定積分を求めます。

$\int (6x^2 - 7) \, dx = 6 \int x^2 \, dx - 7 \int 1 \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 7x + C = 2x^3 - 7x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) \, dx = [2x^3 - 7x]_{1}^{4} = (2(4)^3 - 7(4)) - (2(1)^3 - 7(1)) = (2(64) - 28) - (2 - 7) = (128 - 28) - (-5) = 100 + 5 = 105$

3. 最終的な答え

105