$m$ を定数とする。二次方程式 $x^2 + 2x + m = 0$ の解の種類を判別せよ。

1. 問題の内容

$m$ を定数とする。二次方程式 $x^2 + 2x + m = 0$ の解の種類を判別せよ。

2. 解き方の手順

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

$D > 0$ のとき、異なる二つの実数解を持ちます。

$D = 0$ のとき、重解（一つの実数解）を持ちます。

$D < 0$ のとき、異なる二つの虚数解を持ちます。

与えられた二次方程式 $x^2 + 2x + m = 0$ において、$a=1$, $b=2$, $c=m$ です。

したがって、判別式 $D$ は次のようになります。

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 4 - 4m = 4(1-m)$

解の種類は次のようになります。

(i) $D > 0$ のとき、すなわち $4(1-m) > 0$ のとき、$1-m > 0$ より $m < 1$。このとき、異なる二つの実数解を持ちます。

(ii) $D = 0$ のとき、すなわち $4(1-m) = 0$ のとき、$1-m = 0$ より $m = 1$。このとき、重解を持ちます。

(iii) $D < 0$ のとき、すなわち $4(1-m) < 0$ のとき、$1-m < 0$ より $m > 1$。このとき、異なる二つの虚数解を持ちます。

3. 最終的な答え

$m < 1$ のとき、異なる二つの実数解を持つ。

$m = 1$ のとき、重解を持つ。

$m > 1$ のとき、異なる二つの虚数解を持つ。