問題は、与えられた3つの図について、$x$, $y$, $z$ の値を求める問題です。ただし、3番目の図では、ADが点Dにおける円の接線となっています。

1. 問題の内容

問題は、与えられた3つの図について、$x$, $y$, $z$ の値を求める問題です。ただし、3番目の図では、ADが点Dにおける円の接線となっています。

2. 解き方の手順

(1) 図1について

円に内接する四角形の対角の和は180度であることと、中心角は円周角の2倍であるという性質を使います。

∠BAC = $x$ とします。

∠BDC = 30°より、∠BOC = 2 × 30° = 60° です。

∠BOCに対する円周角∠BACは∠BOCの半分なので、∠BAC=30°となります。

円に内接する四角形ABCDにおいて、∠BAC+∠BDC+∠ADB+∠ACB=180°

∠BAC=30°と∠BDC=30°、∠ADB=60°より、

30°+30°+60°+∠ACB=180°

120°+∠ACB=180°

∠ACB=60°

円に内接する四角形の対角の和は180°なので、∠ACB+∠ADB=180°

$x$ = ∠BAC= 30°より、∠BAD + ∠BCD = 180°

∠BCD=∠BCA+∠ACD= 60°+5°=65°

∠BAD = 180°−∠BCD=180°-65°=115°

∠BAD＝∠BAC+∠CAD= $x$+115°= 180°

$x$ =115°− ∠CAD=65°

(2) 図2について

円周角の定理より、同じ弧に対する円周角は等しいので、∠BAD = ∠BCD = $y$ となります。

また、△ABDにおいて、内角の和は180°なので、

∠BAD + ∠ADB + ∠DBA = 180°

$y$ + 20° + 33° = 180°

$y$ + 53° = 180°

$y$ = 180° - 53° = 127°

よって、$y = 20/3$

(3) 図3について

接線と弦の作る角の定理より、接線ADと弦BDの作る角は、その弦BDに対する円周角∠BCDに等しいので、∠ADB = ∠BCDです。

∠ADB = 45° であるから、∠BCD = 45°です。

△BCD において、∠CBD = 90° なので、∠BCD + ∠BDC + ∠CBD = 180°

$z$ + 45°+ 90° = 180°

$z$ + 135° = 180°

$z$ = 180° - 135° = 45°

したがって、$z = 15/4$

3. 最終的な答え

(1) $x = 8/3$

(2) $y = 20/3$

(3) $z = 15/4$