$\sqrt{\frac{27n}{5}}$ が整数となるような自然数 $n$ のうち、最小の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{27n}{5}}$ が整数となるような自然数 $n$ のうち、最小の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{\frac{27n}{5}}$ が整数となるためには、$\frac{27n}{5}$ が整数の二乗となる必要がある。

まず、27を素因数分解する。$27 = 3^3$ である。したがって、

$\frac{27n}{5} = \frac{3^3 n}{5}$

これが整数の二乗になるためには、分子の指数がすべて偶数である必要がある。

分母に5があるので、分子に少なくとも5が必要である。

また、$3^3$ なので、もう一つ3が必要である。

したがって、$n$ は $5 \times 3 = 15$ の倍数である必要がある。

$n = 15$ のとき、

$\frac{27n}{5} = \frac{3^3 \times 5 \times 3}{5} = 3^4 = (3^2)^2 = 9^2 = 81$

$\sqrt{\frac{27n}{5}} = \sqrt{81} = 9$

これは整数である。したがって、$n$ の最小値は15である。

3. 最終的な答え

15