右の図のような道がある街において、以下の3つの問いに答える。 (ア) AからBへ行く最短経路は何通りあるか。 (イ) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通るものは何通りあるか。 (ウ) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通りDを通らないものは何通りあるか。

離散数学組み合わせ最短経路場合の数
2025/7/3

1. 問題の内容

右の図のような道がある街において、以下の3つの問いに答える。
(ア) AからBへ行く最短経路は何通りあるか。
(イ) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通るものは何通りあるか。
(ウ) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通りDを通らないものは何通りあるか。

2. 解き方の手順

(ア) AからBへの最短経路
AからBへ行くには、右に5回、上に3回移動する必要がある。したがって、最短経路の総数は、8回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ組み合わせの数に等しい。これは、組み合わせの公式を用いて計算できる。
8C5=8!5!3!=8×7×63×2×1=56_8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56
(イ) AからCを通ってBへ行く最短経路
AからCへ行くには、右に2回、上に1回移動する必要がある。その経路数は、3C2=3!2!1!=3_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3通りである。
CからBへ行くには、右に3回、上に2回移動する必要がある。その経路数は、5C3=5!3!2!=5×42×1=10_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10通りである。
したがって、AからCを通ってBへ行く最短経路数は、 3×10=303 \times 10 = 30通りである。
(ウ) AからCを通りDを通らずにBへ行く最短経路
AからCを通る経路は(イ)で30通りと求めた。
このうち、Dを通る経路を求める。
AからCを通りDを通る経路は、AからCまでの経路数(33通り)とCからDまでの経路数(2C1=2_2C_1 = 2通り)とDからBまでの経路数(3C2=3_3C_2 = 3通り)を掛けて3×2×3=183 \times 2 \times 3 = 18通りとなる。
したがって、AからCを通りDを通らない経路は、3018=1230 - 18 = 12通りとなる。

3. 最終的な答え

(ア) 56通り
(イ) 30通り
(ウ) 12通り

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