問題は、以下の2つの和を求めることです。 (1) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの和を求めることです。

(1) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ の計算

まず、$k(k+1)$ を展開します。

$k(k+1) = k^2 + k$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$

共通因子 $n(n+1)$ でくくります。

$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = n(n+1) (\frac{2n+1}{6} + \frac{3}{6}) = n(n+1) (\frac{2n+4}{6}) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ の計算

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ と部分分数分解できます。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

これは、差の形になっているので、和を書き下すと、

$\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

となり、隣り合う項が打ち消し合う、いわゆるtelescoping sum（望遠鏡和）になります。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}$