6つの数字1, 1, 2, 2, 3, 3を1列に並べる。 (1) 異なる並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

6つの数字1, 1, 2, 2, 3, 3を1列に並べる。

(1) 異なる並べ方は全部で何通りあるか。

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全ての並べ方を求める。

まず、6つの数字を区別して考えると、並べ方は $6!$ 通り。

しかし、1が2つ、2が2つ、3が2つあるので、同じ数字の並び順を考慮しないといけない。

したがって、並べ方の総数は

$\frac{6!}{2!2!2!} = \frac{720}{8} = 90$ 通り。

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方を求める。

まず、1, 2, 3を1列に並べる並べ方を考える。これは$3! = 6$通り。

例えば、1 2 3 という並び方の場合を考える。

この並び方の間に、それぞれもう一つの1, 2, 3を入れる。

1 _ 2 _ 3 _

この4つのスペースに、1, 2, 3を入れることを考える。

ただし、同じ数字は隣り合ってはいけないので、1は1の間、2は2の間、3は3の間には入れられない。

まず、1を入れる場所を選ぶ。これは3つの場所から1つ選ぶので、3通り。

次に、2を入れる場所を選ぶ。すでに1つの場所が埋まっているので、残りの3つの場所から1つ選ぶので、3通り。

最後に、3を入れる場所を選ぶ。すでに2つの場所が埋まっているので、残りの3つの場所から1つ選ぶので、3通り。

したがって、1, 2, 3を並べた後に、それぞれもう一つの1, 2, 3を入れる方法は $3 \times 3 \times 3 = 27$ 通りではない。

包除原理を使って解く。

まず、少なくとも1組の同じ数字が隣り合う場合の数を求める。

少なくとも1組が隣り合う場合：$\binom{3}{1} \frac{5!}{2!2!} = 3 \times 30 = 90$

少なくとも2組が隣り合う場合：$\binom{3}{2} \frac{4!}{2!} = 3 \times 12 = 36$

少なくとも3組が隣り合う場合：$\binom{3}{3} 3! = 6$

したがって、少なくとも1組が隣り合う場合の数は $90 - 36 + 6 = 60$

同じ数字が隣り合わない場合の数は、全体の数から少なくとも1組が隣り合う場合を引けばよい。

$90 - 60 = 30$

しかし、問題の条件を満たす並べ方は以下のようにして求めることもできる。

まず、異なる数字を並べます。例えば、123というように。このような並べ方は $3! = 6$ 通りあります。

次に、それぞれの数字の間にスペースを作ります。1_2_3_というように。

ここに、残りの1, 2, 3を挿入します。

例えば、123という並び方の場合、挿入する方法は1つしかありません。

123を並べた後に、123を挿入する。

123123の順になる。

ここで、1が隣り合わないように並べる方法は、1を両端に入れることから始める。

_2_3_。1を2つ入れる方法は、3C2=3通り

次に2を両端に入れる。_1_3_。2を2つ入れる方法は3C2=3通り

最後に3を両端に入れる。_1_2_。3を2つ入れる方法は3C2=3通り

それぞれの数字が隣り合わない場合は、1, 2, 3を交互に並べることになる。

例えば、123123, 132132, 213213, 231231, 312312, 321321 のように並べるしかない。

しかし、123, 132, 213, 231, 312, 321 の6通りではうまくいかない。

全体から隣り合う場合を引くのが正しそう。

$90 - (90-36+6) = 90 - 60 = 30$

3. 最終的な答え

(1) 90通り

(2) 30通り