右の図のような道がある街において、以下の問いに答えます。 (1) AからBへ行く最短経路は何通りあるか。 (2) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通るものは何通りあるか。 (3) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通りDを通らないものは何通りあるか。

離散数学組み合わせ最短経路二項係数
2025/7/3

1. 問題の内容

右の図のような道がある街において、以下の問いに答えます。
(1) AからBへ行く最短経路は何通りあるか。
(2) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通るものは何通りあるか。
(3) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通りDを通らないものは何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) AからBへ行く最短経路
AからBへ行くには、右に5回、上に4回移動する必要があります。
したがって、最短経路の総数は、9回の移動のうち、右への移動5回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。これは二項係数で表すことができ、
(95)=9!5!4!=9×8×7×64×3×2×1=126\binom{9}{5} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 通りです。
(2) Cを通る経路
AからCへ行くには、右に2回、上に1回移動する必要があります。その経路数は
(32)=3!2!1!=3\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3 通りです。
CからBへ行くには、右に3回、上に3回移動する必要があります。その経路数は
(63)=6!3!3!=6×5×43×2×1=20\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 通りです。
したがって、AからCを経由してBへ行く経路数は、 3×20=603 \times 20 = 60 通りです。
(3) Cを通りDを通らない経路
まず、Cを通る経路の総数は60通りでした。
次に、Cを通り、かつDも通る経路の数を求めます。
CからDへ行くには、右に1回、上に2回移動する必要があります。その経路数は
(31)=3!1!2!=3\binom{3}{1} = \frac{3!}{1!2!} = 3 通りです。
DからBへ行くには、右に2回、上に1回移動する必要があります。その経路数は
(32)=3!2!1!=3\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3 通りです。
したがって、AからCを経由し、Dも経由してBへ行く経路数は、 3×3×3=273 \times 3 \times 3 = 27 通りです。
Cを通り、Dを通らない経路数は、Cを通る経路の総数からCを通りDも通る経路数を引けばよいので、 6027=3360 - 27 = 33 通りです。

3. 最終的な答え

(1) AからBへ行く最短経路は 126 通り。
(2) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通るものは 60 通り。
(3) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通りDを通らないものは 33 通り。

「離散数学」の関連問題

与えられた文字列 "sleeper" の7文字を並べ替えてできる文字列について、以下の2つの問いに答えます。 (8) 可能な文字列は何通りあるか。 (9) 両端いずれにも 'e' が存在しないような文...

順列組み合わせ文字列
2025/7/7

6個の球を3つの箱に入れる方法の数を求める問題です。球と箱に区別があるかないか、空箱を許すか許さないかで場合分けされています。

組み合わせ重複組み合わせ場合の数分割数
2025/7/7

右の図のような道のある町で、A地点からB地点まで最短経路で行く方法について、以下の2つの場合についてその経路数を求める問題です。 (1) AからBまで行く最短経路の総数。 (2) AからCを通らずにB...

組み合わせ最短経路場合の数格子経路
2025/7/7

a,b,c,d,e,fの6文字を全て使ってできる順列を、abcdefを1番目として辞書式に並べたとき、fbcdaeは何番目かを求める問題です。

順列辞書式順序場合の数
2025/7/7

a, b, c, d, e, f の6文字を全て使ってできる順列を、abcdefを1番目として辞書式順序で並べたとき、fbcdaeは何番目か。

順列辞書式順序組み合わせ
2025/7/7

4人に宛名を書いて招待状と封筒を用意した。すべての招待状を間違った封筒に入れる方法は何通りあるか。

順列組み合わせ約数完全順列包除原理素因数分解場合の数
2025/7/7

4人の人をA, B, Cの3つの部屋に分ける方法について、以下の2つのケースの場合の数を求める問題です。 (1) 空き部屋があってもよい場合 (2) 空き部屋がない場合

組み合わせ場合の数数え上げ分割
2025/7/7

大人3人と子供3人が輪になって並ぶ。 (1) 特定の子供A, Bが隣り合う場合の数を求める。 (2) 大人3人が続いて並ぶ場合の数を求める。

順列組み合わせ円順列
2025/7/7

大人4人と子ども4人が横一列に並ぶとき、以下の並び方はそれぞれ何通りあるか。 (1) 大人4人が続いて並ぶ。 (2) 大人と子どもが交互に並ぶ。

順列組み合わせ場合の数数え上げ
2025/7/7

この問題は、集合の定義、集合の共通部分($A \cap B$)、和集合($A \cup B$)、要素の個数($n(A)$)に関する問題と、確率の問題です。具体的には、以下の4つの大問から構成されていま...

集合集合の演算要素数確率
2025/7/7