右の図のような道がある街において、以下の問いに答えます。 (1) AからBへ行く最短経路は何通りあるか。 (2) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通るものは何通りあるか。 (3) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通りDを通らないものは何通りあるか。

離散数学組み合わせ最短経路二項係数
2025/7/3

1. 問題の内容

右の図のような道がある街において、以下の問いに答えます。
(1) AからBへ行く最短経路は何通りあるか。
(2) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通るものは何通りあるか。
(3) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通りDを通らないものは何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) AからBへ行く最短経路
AからBへ行くには、右に5回、上に4回移動する必要があります。
したがって、最短経路の総数は、9回の移動のうち、右への移動5回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。これは二項係数で表すことができ、
(95)=9!5!4!=9×8×7×64×3×2×1=126\binom{9}{5} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 通りです。
(2) Cを通る経路
AからCへ行くには、右に2回、上に1回移動する必要があります。その経路数は
(32)=3!2!1!=3\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3 通りです。
CからBへ行くには、右に3回、上に3回移動する必要があります。その経路数は
(63)=6!3!3!=6×5×43×2×1=20\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 通りです。
したがって、AからCを経由してBへ行く経路数は、 3×20=603 \times 20 = 60 通りです。
(3) Cを通りDを通らない経路
まず、Cを通る経路の総数は60通りでした。
次に、Cを通り、かつDも通る経路の数を求めます。
CからDへ行くには、右に1回、上に2回移動する必要があります。その経路数は
(31)=3!1!2!=3\binom{3}{1} = \frac{3!}{1!2!} = 3 通りです。
DからBへ行くには、右に2回、上に1回移動する必要があります。その経路数は
(32)=3!2!1!=3\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3 通りです。
したがって、AからCを経由し、Dも経由してBへ行く経路数は、 3×3×3=273 \times 3 \times 3 = 27 通りです。
Cを通り、Dを通らない経路数は、Cを通る経路の総数からCを通りDも通る経路数を引けばよいので、 6027=3360 - 27 = 33 通りです。

3. 最終的な答え

(1) AからBへ行く最短経路は 126 通り。
(2) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通るものは 60 通り。
(3) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通りDを通らないものは 33 通り。

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