6つの数字 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。 (1) 異なる並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

6つの数字 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。

(1) 異なる並べ方は全部で何通りあるか。

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

6つの数字の中に、2が2つ、3が2つあるので、同じものを含む順列の公式を用いる。

6つのものを並べる順列の総数は $6!$ 通りだが、2が2つ、3が2つあるので、それぞれで割る必要がある。

よって、異なる並べ方の総数は、

$\frac{6!}{2!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{720}{4} = 180$ 通り

(2)

まず、1, 2, 3のいずれかが隣り合う場合の総数を求め、全体から引くという考え方で解くのは難しい。

そこで、先に1, 2, 3を並べる。

1, 2, 3を並べ方は、1, 2, 2, 3, 3を並べる場合の数は少ないので、総当りで考える。

まず、1を固定して考える。

1 _ 1 _ 1 _

このように1の場所に2, 2, 3, 3を並べることを考える。

2, 2, 3, 3を並べたとき、同じ数字が隣り合わないようにするには、以下の手順を踏む。

まず、1, 2, 3を並べる。

1, 2, 3の並べ方は $3! = 6$ 通りある。

例えば、1 2 3 と並べた場合、2, 2, 3, 3は

2 1 2 1 3 1 3

のように並べることができれば良い。

最初に1, 2, 3を並べる

1 2 3

次に、2を並べることを考えると、

_ 1 _ 2 _ 3 _

この4箇所から2箇所を選ぶので、${}_4 C _2 = 6$ 通り

次に3を並べることを考えると、残りの2箇所に3を並べるので、1通り

よって、1 2 3という並べ方に対して6通りある。

1, 2, 3を並べる並べ方は6通りあるので、

$6 \times 6 = 36$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 180通り

(2) 36通り