6つの数字 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。 (1) 異なる並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

離散数学順列組み合わせ場合の数数え上げ
2025/7/3

1. 問題の内容

6つの数字 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。
(1) 異なる並べ方は全部で何通りあるか。
(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)
6つの数字の中に、2が2つ、3が2つあるので、同じものを含む順列の公式を用いる。
6つのものを並べる順列の総数は 6!6! 通りだが、2が2つ、3が2つあるので、それぞれで割る必要がある。
よって、異なる並べ方の総数は、
6!2!2!=6×5×4×3×2×1(2×1)(2×1)=7204=180\frac{6!}{2!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{720}{4} = 180 通り
(2)
まず、1, 2, 3のいずれかが隣り合う場合の総数を求め、全体から引くという考え方で解くのは難しい。
そこで、先に1, 2, 3を並べる。
1, 2, 3を並べ方は、1, 2, 2, 3, 3を並べる場合の数は少ないので、総当りで考える。
まず、1を固定して考える。
1 _ 1 _ 1 _
このように1の場所に2, 2, 3, 3を並べることを考える。
2, 2, 3, 3を並べたとき、同じ数字が隣り合わないようにするには、以下の手順を踏む。
まず、1, 2, 3を並べる。
1, 2, 3の並べ方は 3!=63! = 6 通りある。
例えば、1 2 3 と並べた場合、2, 2, 3, 3は
2 1 2 1 3 1 3
のように並べることができれば良い。
最初に1, 2, 3を並べる
1 2 3
次に、2を並べることを考えると、
_ 1 _ 2 _ 3 _
この4箇所から2箇所を選ぶので、4C2=6{}_4 C _2 = 6 通り
次に3を並べることを考えると、残りの2箇所に3を並べるので、1通り
よって、1 2 3という並べ方に対して6通りある。
1, 2, 3を並べる並べ方は6通りあるので、
6×6=366 \times 6 = 36 通り

3. 最終的な答え

(1) 180通り
(2) 36通り

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