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双曲線 $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ の導関数 $dy/dx$ を求める問題です。

解析学微分陰関数微分双曲線導関数
2025/3/10

1. 問題の内容

双曲線 x2/a2−y2/b2=1x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 の導関数 dy/dxdy/dx を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた双曲線の式 x2/a2−y2/b2=1x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 を陰関数微分します。
ステップ1: 両辺を xx で微分します。
ddx(x2a2−y2b2)=ddx(1)\frac{d}{dx}(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}) = \frac{d}{dx}(1)
ステップ2: 各項を微分します。
2xa2−2yb2dydx=0\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0
ステップ3: dydx\frac{dy}{dx} について解きます。
2yb2dydx=2xa2\frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{a^2}
dydx=2xa2⋅b22y\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{a^2} \cdot \frac{b^2}{2y}
dydx=b2xa2y\frac{dy}{dx} = \frac{b^2x}{a^2y}

3. 最終的な答え

dydx=b2xa2y\frac{dy}{dx} = \frac{b^2x}{a^2y}

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