6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。 (1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。

(1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

6つの数字を並べる総数は、同じものを含む順列の公式を利用する。

異なる数字が$n$個あり、そのうち$p$個が同じで、$q$個が同じで、...、$r$個が同じであるとき、それらを1列に並べる順列の総数は、

$\frac{n!}{p!q!...r!}$

で与えられる。

この問題の場合、$n=6$, $p=2$ (1の数), $q=2$ (2の数), $r=2$ (3の数) なので、

並べ方の総数は、

$\frac{6!}{2!2!2!} = \frac{720}{8} = 90$ 通り。

(2)

まず、1, 2, 3を1列に並べる。並べ方は3! = 6通り。

例えば、1 2 3 という並びの場合、

_ 1 _ 2 _ 3 _

のように、数字の間に4つのスペースができる。

この4つのスペースに、残りの1, 2, 3を1つずつ入れることを考える。

それぞれのスペースに1つずつ数字を入れると、同じ数字が隣り合わない。

まず、1を入れる場所を考える。4箇所から1箇所を選ぶので4通り。

次に、2を入れる場所を考える。1を入れた場所を除いた3箇所から1箇所を選ぶので3通り。

最後に、3を入れる場所を考える。1と2を入れた場所を除いた2箇所から1箇所を選ぶので2通り。

よって、同じ数字が隣り合わない並べ方は、$3! \times 4 \times 3 \times 2 = 6 \times 24 = 144$通り。

しかし、これは誤り。

まずは、1, 1, 2, 2, 3, 3を並べたとき、同じ数字が隣り合う場合を考える。

全体から隣り合う場合を引く。これは難しい。

包除原理を利用する。

A: 1と1が隣り合う

B: 2と2が隣り合う

C: 3と3が隣り合う

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

$|A| = \frac{5!}{2!2!} = 30$

$|B| = \frac{5!}{2!2!} = 30$

$|C| = \frac{5!}{2!2!} = 30$

$|A \cap B| = \frac{4!}{2!} = 12$

$|A \cap C| = \frac{4!}{2!} = 12$

$|B \cap C| = \frac{4!}{2!} = 12$

$|A \cap B \cap C| = 3! = 6$

$|A \cup B \cup C| = 30 + 30 + 30 - 12 - 12 - 12 + 6 = 90 - 36 + 6 = 60$

よって、同じ数字が隣り合わない並べ方は、90 - 60 = 30通り。

3. 最終的な答え

(1) 90通り

(2) 30通り