6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。 (1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。
2025/7/3
1. 問題の内容
6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。
(1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。
(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。
2. 解き方の手順
(1)
6つの数字を並べる総数は、同じものを含む順列の公式を利用する。
異なる数字が個あり、そのうち個が同じで、個が同じで、...、個が同じであるとき、それらを1列に並べる順列の総数は、
で与えられる。
この問題の場合、, (1の数), (2の数), (3の数) なので、
並べ方の総数は、
通り。
(2)
まず、1, 2, 3を1列に並べる。並べ方は3! = 6通り。
例えば、1 2 3 という並びの場合、
_ 1 _ 2 _ 3 _
のように、数字の間に4つのスペースができる。
この4つのスペースに、残りの1, 2, 3を1つずつ入れることを考える。
それぞれのスペースに1つずつ数字を入れると、同じ数字が隣り合わない。
まず、1を入れる場所を考える。4箇所から1箇所を選ぶので4通り。
次に、2を入れる場所を考える。1を入れた場所を除いた3箇所から1箇所を選ぶので3通り。
最後に、3を入れる場所を考える。1と2を入れた場所を除いた2箇所から1箇所を選ぶので2通り。
よって、同じ数字が隣り合わない並べ方は、通り。
しかし、これは誤り。
まずは、1, 1, 2, 2, 3, 3を並べたとき、同じ数字が隣り合う場合を考える。
全体から隣り合う場合を引く。これは難しい。
包除原理を利用する。
A: 1と1が隣り合う
B: 2と2が隣り合う
C: 3と3が隣り合う
よって、同じ数字が隣り合わない並べ方は、90 - 60 = 30通り。
3. 最終的な答え
(1) 90通り
(2) 30通り