6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。 (1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

離散数学順列包除原理組み合わせ
2025/7/3

1. 問題の内容

6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。
(1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。
(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)
6つの数字を並べる総数は、同じものを含む順列の公式を利用する。
異なる数字がnn個あり、そのうちpp個が同じで、qq個が同じで、...、rr個が同じであるとき、それらを1列に並べる順列の総数は、
n!p!q!...r!\frac{n!}{p!q!...r!}
で与えられる。
この問題の場合、n=6n=6, p=2p=2 (1の数), q=2q=2 (2の数), r=2r=2 (3の数) なので、
並べ方の総数は、
6!2!2!2!=7208=90\frac{6!}{2!2!2!} = \frac{720}{8} = 90 通り。
(2)
まず、1, 2, 3を1列に並べる。並べ方は3! = 6通り。
例えば、1 2 3 という並びの場合、
_ 1 _ 2 _ 3 _
のように、数字の間に4つのスペースができる。
この4つのスペースに、残りの1, 2, 3を1つずつ入れることを考える。
それぞれのスペースに1つずつ数字を入れると、同じ数字が隣り合わない。
まず、1を入れる場所を考える。4箇所から1箇所を選ぶので4通り。
次に、2を入れる場所を考える。1を入れた場所を除いた3箇所から1箇所を選ぶので3通り。
最後に、3を入れる場所を考える。1と2を入れた場所を除いた2箇所から1箇所を選ぶので2通り。
よって、同じ数字が隣り合わない並べ方は、3!×4×3×2=6×24=1443! \times 4 \times 3 \times 2 = 6 \times 24 = 144通り。
しかし、これは誤り。
まずは、1, 1, 2, 2, 3, 3を並べたとき、同じ数字が隣り合う場合を考える。
全体から隣り合う場合を引く。これは難しい。
包除原理を利用する。
A: 1と1が隣り合う
B: 2と2が隣り合う
C: 3と3が隣り合う
ABC=A+B+CABACBC+ABC|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|
A=5!2!2!=30|A| = \frac{5!}{2!2!} = 30
B=5!2!2!=30|B| = \frac{5!}{2!2!} = 30
C=5!2!2!=30|C| = \frac{5!}{2!2!} = 30
AB=4!2!=12|A \cap B| = \frac{4!}{2!} = 12
AC=4!2!=12|A \cap C| = \frac{4!}{2!} = 12
BC=4!2!=12|B \cap C| = \frac{4!}{2!} = 12
ABC=3!=6|A \cap B \cap C| = 3! = 6
ABC=30+30+30121212+6=9036+6=60|A \cup B \cup C| = 30 + 30 + 30 - 12 - 12 - 12 + 6 = 90 - 36 + 6 = 60
よって、同じ数字が隣り合わない並べ方は、90 - 60 = 30通り。

3. 最終的な答え

(1) 90通り
(2) 30通り

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