$p$ は奇数の素数とする。$N = (p+1)(p+3)(p+5)$ とおく。 (1) $N$ が 48 の倍数であることを示す。 (2) $N$ が 144 の倍数になるような $p$ の値を、小さい順に 5 つ求める。

1. 問題の内容

$p$ は奇数の素数とする。$N = (p+1)(p+3)(p+5)$ とおく。

(1) $N$ が 48 の倍数であることを示す。

(2) $N$ が 144 の倍数になるような $p$ の値を、小さい順に 5 つ求める。

2. 解き方の手順

(1) $p$ は奇素数なので、$p+1$, $p+3$, $p+5$ は連続する 3 つの偶数である。したがって、これらの数はすべて 2 の倍数である。

$p+1$, $p+3$, $p+5$ のうち、少なくとも 1 つは 4 の倍数であり、また 1 つは 6 の倍数である。

したがって、$(p+1)(p+3)(p+5)$ は $2 \times 2 \times 2 \times 3 = 24$ の倍数である。

$N = (p+1)(p+3)(p+5)$ は 24 の倍数である。

ここで、$p$ は奇数なので、$p+1$ は偶数である。よって、$N$ は少なくとも $2^3$ で割り切れる。

$p+1$, $p+3$, $p+5$ は連続する 3 つの偶数なので、そのうち 1 つは 6 の倍数である。

$p+1$, $p+3$, $p+5$ の少なくとも一つは 3 で割り切れる。

$p = 3$ のとき、$N = (3+1)(3+3)(3+5) = 4 \times 6 \times 8 = 192 = 48 \times 4$ となり、$N$ は 48 の倍数である。

$p \neq 3$ のとき、$p$ は 3 の倍数ではないので、$p+1$, $p+3$, $p+5$ のうち、$p+3$ が 3 の倍数になることはない。しかし、$p+1$, $p+5$ のいずれかが 3 で割り切れる。よって、$N$ は 3 の倍数である。

$N$ は 8 の倍数であり、3 の倍数でもあるので、$N$ は $8 \times 3 = 24$ の倍数である。

連続する３つの偶数の中には、４の倍数が少なくとも１つあるので、$(p+1)(p+3)(p+5)$は$2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ の倍数である。また、$p+1$, $p+3$, $p+5$ のいずれかは 3 の倍数なので、$N$ は 3 の倍数。よって、$N$ は $16 \times 3 = 48$ の倍数である。

(2) $N = (p+1)(p+3)(p+5)$ が 144 の倍数であるとき、$N = 144k$ ($k$ は整数) と表せる。$144 = 16 \times 9$ なので、$N$ が 144 の倍数であるためには、$N$ が 16 の倍数かつ 9 の倍数でなければならない。

$p=3$ のとき、$N = 4 \times 6 \times 8 = 192$. $192 = 144 \times \frac{4}{3}$ なので、$N$ は 144 の倍数ではない。

$p=5$ のとき、$N = 6 \times 8 \times 10 = 480$. $480 = 144 \times \frac{10}{3}$ なので、$N$ は 144 の倍数ではない。

$p=7$ のとき、$N = 8 \times 10 \times 12 = 960$. $960 = 144 \times \frac{20}{3}$ なので、$N$ は 144 の倍数ではない。

$p=11$ のとき、$N = 12 \times 14 \times 16 = 2688$. $2688 = 144 \times 18 + 96$ なので、$N$ は 144 の倍数ではない。

$p=13$ のとき、$N = 14 \times 16 \times 18 = 4032$. $4032 = 144 \times 28$. よって、$N$ は 144 の倍数である。

$p=17$ のとき、$N = 18 \times 20 \times 22 = 7920$. $7920 = 144 \times 55$. よって、$N$ は 144 の倍数である。

$p=19$ のとき、$N = 20 \times 22 \times 24 = 10560$. $10560 = 144 \times 73 + 48$ なので、$N$ は 144 の倍数ではない。

$p=23$ のとき、$N = 24 \times 26 \times 28 = 17472$. $17472 = 144 \times 121 + 48$ なので、$N$ は 144 の倍数ではない。

$p=29$ のとき、$N = 30 \times 32 \times 34 = 32640$. $32640 = 144 \times 226 + 96$ なので、$N$ は 144 の倍数ではない。

$p=31$ のとき、$N = 32 \times 34 \times 36 = 39168$. $39168 = 144 \times 272$. よって、$N$ は 144 の倍数である。

$p=37$ のとき、$N = 38 \times 40 \times 42 = 63840$. $63840 = 144 \times 443 + 288 = 144 \times 443 + 144 \times 2 = 144 \times 445$. よって、$N$ は 144 の倍数である。

$p=41$ のとき、$N = 42 \times 44 \times 46 = 85512$. $85512 = 144 \times 594$. よって、$N$ は 144 の倍数である。

$p=43$ のとき、$N = 44 \times 46 \times 48 = 97536$. $97536 = 144 \times 677 + 288 = 144 \times 677 + 144 \times 2 = 144 \times 679$. よって、$N$ は 144 の倍数である。

したがって、小さい順に５つの $p$ の値は 13, 17, 31, 37, 41 である。

3. 最終的な答え

(1) $N$ は 48 の倍数である。

(2) $p = 13, 17, 31, 37, 41$