右図のような道のある町で、次の条件を満たす最短経路は何通りあるか。 (1) PからQまで行く。 (2) PからRを通ってQまで行く。 (3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く。 (4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く。

1. 問題の内容

右図のような道のある町で、次の条件を満たす最短経路は何通りあるか。

(1) PからQまで行く。

(2) PからRを通ってQまで行く。

(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く。

(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く。

2. 解き方の手順

(1) PからQまでの最短経路

PからQまでは、右に5回、上に4回移動する必要がある。

したがって、9回の移動のうち右への移動5回を選ぶ場合の数を考えればよい。

これは組み合わせで計算でき、$_9C_5$となる。

$_9C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(2) PからRを通ってQまで行く経路

まず、PからRまでの最短経路を考える。PからRまでは、右に2回、上に1回移動する必要がある。

したがって、3回の移動のうち右への移動2回を選ぶ場合の数を考えればよい。

これは組み合わせで計算でき、$_3C_2$となる。

$_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$

次に、RからQまでの最短経路を考える。RからQまでは、右に3回、上に3回移動する必要がある。

したがって、6回の移動のうち右への移動3回を選ぶ場合の数を考えればよい。

これは組み合わせで計算でき、$_6C_3$となる。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、PからRを通ってQまで行く経路の総数は、PからRまでの経路数とRからQまでの経路数の積で表される。

$3 \times 20 = 60$

(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く経路

まず、PからQまでのすべての経路数は(1)で求めた126通りである。

次に、Pから×印の箇所を通ってQまで行く経路数を求める。

Pから×印の箇所までの最短経路は、右に3回、上に2回移動するので、$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通りである。

×印の箇所からQまでの最短経路は、右に2回、上に2回移動するので、$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$通りである。

したがって、Pから×印を通ってQまで行く経路数は$10 \times 6 = 60$通りである。

したがって、Pから×印の箇所を通らずにQまで行く経路数は、PからQまでのすべての経路数からPから×印を通ってQまで行く経路数を引けば良い。

$126 - 60 = 66$

(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く経路

まず、PからRを通ってQまでの経路数は(2)で求めた60通りである。

次に、PからRを通り、×印を通ってQまで行く経路数を求める。

PからRまでの経路数は3通り。(2)で計算済み

Rから×印までの経路数は、右に1回、上に1回なので、$_2C_1 = 2$通りである。

×印からQまでの経路数は6通り。(3)で計算済み

したがって、PからRを通り、×印を通ってQまで行く経路数は、$3 \times 2 \times 6 = 36$通りである。

したがって、PからRを通り、×印の箇所を通らずにQまで行く経路数は、PからRを通ってQまで行く経路数からPからRを通り、×印を通ってQまで行く経路数を引けば良い。

$60 - 36 = 24$

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 60通り

(3) 66通り

(4) 24通り