右図のような道のある町で、次の条件を満たす最短経路は何通りあるか。 (1) PからQまで行く。 (2) PからRを通ってQまで行く。 (3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く。 (4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く。

離散数学組み合わせ最短経路場合の数
2025/7/3

1. 問題の内容

右図のような道のある町で、次の条件を満たす最短経路は何通りあるか。
(1) PからQまで行く。
(2) PからRを通ってQまで行く。
(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く。
(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く。

2. 解き方の手順

(1) PからQまでの最短経路
PからQまでは、右に5回、上に4回移動する必要がある。
したがって、9回の移動のうち右への移動5回を選ぶ場合の数を考えればよい。
これは組み合わせで計算でき、9C5 _9C_5 となる。
9C5=9!5!4!=9×8×7×64×3×2×1=126 _9C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126
(2) PからRを通ってQまで行く経路
まず、PからRまでの最短経路を考える。PからRまでは、右に2回、上に1回移動する必要がある。
したがって、3回の移動のうち右への移動2回を選ぶ場合の数を考えればよい。
これは組み合わせで計算でき、3C2 _3C_2 となる。
3C2=3!2!1!=3×22=3 _3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2} = 3
次に、RからQまでの最短経路を考える。RからQまでは、右に3回、上に3回移動する必要がある。
したがって、6回の移動のうち右への移動3回を選ぶ場合の数を考えればよい。
これは組み合わせで計算でき、6C3 _6C_3 となる。
6C3=6!3!3!=6×5×43×2×1=20 _6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
したがって、PからRを通ってQまで行く経路の総数は、PからRまでの経路数とRからQまでの経路数の積で表される。
3×20=60 3 \times 20 = 60
(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く経路
まず、PからQまでのすべての経路数は(1)で求めた126通りである。
次に、Pから×印の箇所を通ってQまで行く経路数を求める。
Pから×印の箇所までの最短経路は、右に3回、上に2回移動するので、5C3=5!3!2!=5×42=10 _5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10 通りである。
×印の箇所からQまでの最短経路は、右に2回、上に2回移動するので、4C2=4!2!2!=4×32=6 _4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6 通りである。
したがって、Pから×印を通ってQまで行く経路数は10×6=60 10 \times 6 = 60 通りである。
したがって、Pから×印の箇所を通らずにQまで行く経路数は、PからQまでのすべての経路数からPから×印を通ってQまで行く経路数を引けば良い。
12660=66 126 - 60 = 66
(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く経路
まず、PからRを通ってQまでの経路数は(2)で求めた60通りである。
次に、PからRを通り、×印を通ってQまで行く経路数を求める。
PからRまでの経路数は3通り。(2)で計算済み
Rから×印までの経路数は、右に1回、上に1回なので、2C1=2 _2C_1 = 2 通りである。
×印からQまでの経路数は6通り。(3)で計算済み
したがって、PからRを通り、×印を通ってQまで行く経路数は、3×2×6=36 3 \times 2 \times 6 = 36 通りである。
したがって、PからRを通り、×印の箇所を通らずにQまで行く経路数は、PからRを通ってQまで行く経路数からPからRを通り、×印を通ってQまで行く経路数を引けば良い。
6036=24 60 - 36 = 24

3. 最終的な答え

(1) 126通り
(2) 60通り
(3) 66通り
(4) 24通り

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