右図のような道のある町で、次の条件を満たす最短経路は何通りあるか。 (1) PからQまで行く。 (2) PからRを通ってQまで行く。 (3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く。 (4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く。
2025/7/3
1. 問題の内容
右図のような道のある町で、次の条件を満たす最短経路は何通りあるか。
(1) PからQまで行く。
(2) PからRを通ってQまで行く。
(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く。
(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く。
2. 解き方の手順
(1) PからQまでの最短経路
PからQまでは、右に5回、上に4回移動する必要がある。
したがって、9回の移動のうち右への移動5回を選ぶ場合の数を考えればよい。
これは組み合わせで計算でき、となる。
(2) PからRを通ってQまで行く経路
まず、PからRまでの最短経路を考える。PからRまでは、右に2回、上に1回移動する必要がある。
したがって、3回の移動のうち右への移動2回を選ぶ場合の数を考えればよい。
これは組み合わせで計算でき、となる。
次に、RからQまでの最短経路を考える。RからQまでは、右に3回、上に3回移動する必要がある。
したがって、6回の移動のうち右への移動3回を選ぶ場合の数を考えればよい。
これは組み合わせで計算でき、となる。
したがって、PからRを通ってQまで行く経路の総数は、PからRまでの経路数とRからQまでの経路数の積で表される。
(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く経路
まず、PからQまでのすべての経路数は(1)で求めた126通りである。
次に、Pから×印の箇所を通ってQまで行く経路数を求める。
Pから×印の箇所までの最短経路は、右に3回、上に2回移動するので、通りである。
×印の箇所からQまでの最短経路は、右に2回、上に2回移動するので、通りである。
したがって、Pから×印を通ってQまで行く経路数は通りである。
したがって、Pから×印の箇所を通らずにQまで行く経路数は、PからQまでのすべての経路数からPから×印を通ってQまで行く経路数を引けば良い。
(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く経路
まず、PからRを通ってQまでの経路数は(2)で求めた60通りである。
次に、PからRを通り、×印を通ってQまで行く経路数を求める。
PからRまでの経路数は3通り。(2)で計算済み
Rから×印までの経路数は、右に1回、上に1回なので、通りである。
×印からQまでの経路数は6通り。(3)で計算済み
したがって、PからRを通り、×印を通ってQまで行く経路数は、通りである。
したがって、PからRを通り、×印の箇所を通らずにQまで行く経路数は、PからRを通ってQまで行く経路数からPからRを通り、×印を通ってQまで行く経路数を引けば良い。
3. 最終的な答え
(1) 126通り
(2) 60通り
(3) 66通り
(4) 24通り