実数 $a, b, x$ が与えられており、$a+b=3$, $ab=1$, $x - \frac{1}{x} = 2$ を満たしています。 また、$A = ax - \frac{b}{x}$, $B = bx - \frac{a}{x}$ と定義されています。 以下の値を求めます。 (1) $a^2 + b^2$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$, $A+B$ (3) $\frac{B}{A} + \frac{A}{B}$

1. 問題の内容

実数 $a, b, x$ が与えられており、$a+b=3$, $ab=1$, $x - \frac{1}{x} = 2$ を満たしています。

また、$A = ax - \frac{b}{x}$, $B = bx - \frac{a}{x}$ と定義されています。

以下の値を求めます。

(1) $a^2 + b^2$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$, $A+B$

(3) $\frac{B}{A} + \frac{A}{B}$

2. 解き方の手順

(1) $a^2 + b^2$ の計算：

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ を利用します。

$a+b = 3$ と $ab = 1$ を代入すると、

$a^2 + b^2 = (3)^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の計算：

$x - \frac{1}{x} = 2$ の両辺を2乗すると、

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 2^2 = 4$

したがって、$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 + 2 = 6$

$A+B$ の計算：

$A + B = (ax - \frac{b}{x}) + (bx - \frac{a}{x}) = (a+b)x - \frac{a+b}{x} = (a+b)(x - \frac{1}{x})$

$a+b = 3$ と $x - \frac{1}{x} = 2$ を代入すると、

$A + B = 3(2) = 6$

(3) $\frac{B}{A} + \frac{A}{B}$ の計算：

$\frac{B}{A} + \frac{A}{B} = \frac{A^2 + B^2}{AB}$

$A^2 + B^2 = (A+B)^2 - 2AB$ より、$A^2 + B^2$ と $AB$ を計算する必要がある。

$A+B=6$ を利用できる。

$AB = (ax - \frac{b}{x})(bx - \frac{a}{x}) = abx^2 - a^2 - b^2 + \frac{ab}{x^2} = ab(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (a^2 + b^2)$

$ab = 1$, $x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$, $a^2 + b^2 = 7$ を代入すると、

$AB = (1)(6) - 7 = 6 - 7 = -1$

$\frac{B}{A} + \frac{A}{B} = \frac{(A+B)^2 - 2AB}{AB} = \frac{(6)^2 - 2(-1)}{-1} = \frac{36 + 2}{-1} = \frac{38}{-1} = -38$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 + b^2 = 7$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$, $A+B = 6$

(3) $\frac{B}{A} + \frac{A}{B} = -38$