2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ が与えられている。ここで、$a$ は正の定数である。 (1) 関数 $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。 (2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値が8であるとき、$a$ の値を求める。さらに、このとき、$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ が与えられている。ここで、$a$ は正の定数である。

(1) 関数 $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。

(2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値が8であるとき、$a$ の値を求める。さらに、このとき、$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求めるために、平方完成を行う。

$f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a = (x - 2)^2 - 4 + a^2 - a$

したがって、頂点の座標は $(2, a^2 - a - 4)$ である。

(2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値を考える。軸は $x=2$ である。定義域 $0 \le x \le 3$ は軸を含んでいるため、頂点で最小値をとる。最小値が8なので、

$a^2 - a - 4 = 8$

$a^2 - a - 12 = 0$

$(a - 4)(a + 3) = 0$

$a = 4, -3$

$a$ は正の定数なので、$a = 4$ である。

このとき、$f(x) = x^2 - 4x + 4^2 - 4 = x^2 - 4x + 12$

$f(0) = 0 - 0 + 12 = 12$

$f(3) = 3^2 - 4(3) + 12 = 9 - 12 + 12 = 9$

よって、$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値は $12$ である。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標は $(2, a^2 - a - 4)$

(2) $a = 4$ のとき、最大値は $12$