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双曲線の方程式 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

解析学微分陰関数微分双曲線導関数
2025/3/10

1. 問題の内容

双曲線の方程式 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 の導関数 dydx\frac{dy}{dx} を求める問題です。

2. 解き方の手順

陰関数微分を用いて解きます。

1. 与えられた方程式 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ の両辺を $x$ で微分します。

2. $\frac{x^2}{a^2}$ を $x$ で微分すると $\frac{2x}{a^2}$ となります。

3. $\frac{y^2}{b^2}$ を $x$ で微分すると、連鎖律を用いて $\frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx}$ となります。

4. 定数 1 を $x$ で微分すると 0 となります。

5. 微分した式は $\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$ となります。

6. $\frac{dy}{dx}$ について解きます。まず、$\frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{a^2}$ と変形します。

7. 両辺を $\frac{2y}{b^2}$ で割ると、$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{a^2} \cdot \frac{b^2}{2y} = \frac{b^2x}{a^2y}$ となります。

3. 最終的な答え

dydx=b2xa2y\frac{dy}{dx} = \frac{b^2x}{a^2y}

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