与えられた数列の和を計算する問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)(3k+1)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算する問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)(3k+1)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、和の記号の中の式を展開します。

$(2k+1)(3k+1) = 6k^2 + 2k + 3k + 1 = 6k^2 + 5k + 1$

次に、和の記号を分配します。

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 + 5k + 1) = 6 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 5 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、以下の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$6 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 5 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

$= n(n+1)(2n+1) + \frac{5n(n+1)}{2} + n$

$= n \left[ (n+1)(2n+1) + \frac{5(n+1)}{2} + 1 \right]$

$= n \left[ 2n^2 + 3n + 1 + \frac{5n+5}{2} + 1 \right]$

$= n \left[ 2n^2 + 3n + 2 + \frac{5n+5}{2} \right]$

$= n \left[ \frac{4n^2 + 6n + 4 + 5n + 5}{2} \right]$

$= n \left[ \frac{4n^2 + 11n + 9}{2} \right]$

$= \frac{n(4n^2 + 11n + 9)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(4n^2 + 11n + 9)}{2}$