A組、B組、C組の生徒の数学の試験の平均点に関する問題です。 (1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときのxの値を求めます。 (2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるようなxの値を全て求めます。 (3) 後日、C組の欠席者が受験し、その得点の和をkとしたとき、C組の平均点が当初A組の平均点以上だったものが、k点を加えるとA組の平均点より低くなるようなkの値を求めます。

1. 問題の内容

A組、B組、C組の生徒の数学の試験の平均点に関する問題です。

(1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときのxの値を求めます。

(2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるようなxの値を全て求めます。

(3) 後日、C組の欠席者が受験し、その得点の和をkとしたとき、C組の平均点が当初A組の平均点以上だったものが、k点を加えるとA組の平均点より低くなるようなkの値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) A組の平均点を求める。

A組全体の人数は $32 + 8 = 40$ 人。

A組の合計点は $32 \times 60 + 8 \times 70 = 1920 + 560 = 2480$ 点。

A組の平均点は $\frac{2480}{40} = 62$ 点。

B組の平均点がA組の平均点と等しいとき、xの値を求める。

B組全体の人数は $40 - x + x = 40$ 人。

B組の合計点は $(40 - x) \times 65 + x \times 55 = 2600 - 65x + 55x = 2600 - 10x$ 点。

B組の平均点は $\frac{2600 - 10x}{40}$ 点。

B組の平均点がA組の平均点と等しいので、

$\frac{2600 - 10x}{40} = 62$

$2600 - 10x = 2480$

$10x = 120$

$x = 12$

(2) C組の平均点がA組の平均点以上であるとき、xの値を求めます。

C組全体の人数は $x + 5 + 40 - x = 45$ 人。

C組の合計点は $(x + 5) \times 59 + (40 - x) \times 64 = 59x + 295 + 2560 - 64x = 2855 - 5x$ 点。

C組の平均点は $\frac{2855 - 5x}{45}$ 点。

C組の平均点がA組の平均点以上なので、

$\frac{2855 - 5x}{45} \geq 62$

$2855 - 5x \geq 2790$

$65 \geq 5x$

$x \leq 13$

B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるとき、xの値を求めます。

$|(2600 - 10x) - (2855 - 5x)| \geq 300$

$| -255 - 5x| \geq 300$

$|-5x - 255| \geq 300$

$5x + 255 \geq 300$ または $5x + 255 \leq -300$

$5x \geq 45$ または $5x \leq -555$

$x \geq 9$ または $x \leq -111$

$1 \leq x \leq 39$ より、$9 \leq x \leq 13$ を満たす整数xは9,10,11,12,13。

(3) C組の平均点がA組の平均点以上であったが、2人の得点を加えるとA組の平均点より低くなったとき、kの値を求める。

当初のC組の平均点: $\frac{2855 - 5x}{45}$

2人の得点を加えた後のC組の平均点: $\frac{2855 - 5x + k}{47}$

$\frac{2855 - 5x}{45} \geq 62$ (これはすでに$x \le 13$として解いた)

$\frac{2855 - 5x + k}{47} < 62$

$2855 - 5x + k < 2914$

$k < 59 + 5x$

kのとりうる値がただ一つに定まるようなkの値を求める。

$x=12$ の場合、

$\frac{2855-5(12)}{45} = \frac{2795}{45} = 62.111... > 62$

$\frac{2855-5(12)+k}{47} < 62$

$2855-60+k < 2914$

$2795+k < 2914$

$k < 119$

この条件の下でkのとりうる値が1つであるためには、$k=118$。

3. 最終的な答え

(1) A組の平均点は62点。x = 12

(2) x = 9, 10, 11, 12, 13

(3) k = 118