全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ の部分集合 $A = \{2, 4, 6, 8\}$ と $B = \{1, 2, 3, 6\}$ が与えられています。 以下の集合を求める問題です。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A \cup B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ の部分集合 $A = \{2, 4, 6, 8\}$ と $B = \{1, 2, 3, 6\}$ が与えられています。

以下の集合を求める問題です。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ (Aの補集合) を求めるには、全体集合UからAの要素を取り除きます。

つまり、$U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素を集めます。

$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} - \{2, 4, 6, 8\} = \{1, 3, 5, 7\}$

(2) $\overline{B}$ (Bの補集合) を求めるには、全体集合UからBの要素を取り除きます。

つまり、$U$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素を集めます。

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} - \{1, 2, 3, 6\} = \{4, 5, 7, 8\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (Aの補集合とBの補集合の共通部分) を求めるには、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素を集めます。

$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7\}$

$\overline{B} = \{4, 5, 7, 8\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 3, 5, 7\} \cap \{4, 5, 7, 8\} = \{5, 7\}$

(4) $\overline{A \cup B}$ (AとBの和集合の補集合) を求めるには、まず $A \cup B$ を求めます。

$A \cup B = \{2, 4, 6, 8\} \cup \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$

次に、全体集合Uから $A \cup B$ の要素を取り除きます。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} - \{1, 2, 3, 4, 6, 8\} = \{5, 7\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7\}$

(2) $\overline{B} = \{4, 5, 7, 8\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{5, 7\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{5, 7\}$