与えられた4つの2次関数について、それぞれのグラフの軸と頂点を求め、グラフを描画する問題です。 (1) $y = 2x^2 - 4x + 5$ (2) $y = -x^2 + 6x$ (3) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x$ (4) $y = -x^2 + 3x - 4$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数について、それぞれのグラフの軸と頂点を求め、グラフを描画する問題です。

(1) $y = 2x^2 - 4x + 5$

(2) $y = -x^2 + 6x$

(3) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x$

(4) $y = -x^2 + 3x - 4$

2. 解き方の手順

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフの軸と頂点を求めるには、平方完成を行います。平方完成された式 $y = a(x - p)^2 + q$ において、軸は $x = p$ であり、頂点は $(p, q)$ となります。

(1) $y = 2x^2 - 4x + 5$

$y = 2(x^2 - 2x) + 5$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) + 5$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 5$

$y = 2(x - 1)^2 + 3$

軸：$x = 1$

頂点：$(1, 3)$

(2) $y = -x^2 + 6x$

$y = -(x^2 - 6x)$

$y = -(x^2 - 6x + 9 - 9)$

$y = -((x - 3)^2 - 9)$

$y = -(x - 3)^2 + 9$

軸：$x = 3$

頂点：$(3, 9)$

(3) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 6x)$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 6x + 9 - 9)$

$y = \frac{1}{2}((x + 3)^2 - 9)$

$y = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - \frac{9}{2}$

軸：$x = -3$

頂点：$(-3, -\frac{9}{2})$

(4) $y = -x^2 + 3x - 4$

$y = -(x^2 - 3x) - 4$

$y = -(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) - 4$

$y = -((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) - 4$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - 4$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - \frac{16}{4}$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{7}{4}$

軸：$x = \frac{3}{2}$

頂点：$(\frac{3}{2}, -\frac{7}{4})$

3. 最終的な答え

(1) 軸：$x = 1$, 頂点：$(1, 3)$

(2) 軸：$x = 3$, 頂点：$(3, 9)$

(3) 軸：$x = -3$, 頂点：$(-3, -\frac{9}{2})$

(4) 軸：$x = \frac{3}{2}$, 頂点：$(\frac{3}{2}, -\frac{7}{4})$