4次方程式 $x^4 - 6x^3 + 8x^2 - 10x - 25 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 - 6x^3 + 8x^2 - 10x - 25 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

与えられた4次方程式を因数分解することを試みます。定数項が-25なので、$\pm 1$, $\pm 5$, $\pm 25$が解の候補となります。

$x=5$を代入すると、

$5^4 - 6(5^3) + 8(5^2) - 10(5) - 25 = 625 - 750 + 200 - 50 - 25 = 0$

$x=-1$を代入すると、

$(-1)^4 - 6(-1)^3 + 8(-1)^2 - 10(-1) - 25 = 1 + 6 + 8 + 10 - 25 = 0$

したがって、$x=5$と$x=-1$はこの方程式の解であり、$x-5$と$x+1$が因数となります。

$(x-5)(x+1) = x^2 - 4x - 5$で与えられた式を割ります。

$x^4 - 6x^3 + 8x^2 - 10x - 25 = (x^2 - 4x - 5)(x^2 - 2x + 5)$

したがって、$x^2 - 2x + 5 = 0$の解を求める必要があります。

二次方程式の解の公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$を使うと、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$

3. 最終的な答え

$x = -1, 5, 1 + 2i, 1 - 2i$