与えられた2次関数のグラフの軸と頂点を求め、グラフを描く問題です。 (1) $y=2x^2-4x+5$ (2) $y=-x^2+6x$ (3) $y=\frac{1}{2}x^2+3x$ (4) $y=-x^2+3x-4$

1. 問題の内容

与えられた2次関数のグラフの軸と頂点を求め、グラフを描く問題です。

(1) $y=2x^2-4x+5$

(2) $y=-x^2+6x$

(3) $y=\frac{1}{2}x^2+3x$

(4) $y=-x^2+3x-4$

2. 解き方の手順

それぞれの2次関数を平方完成させ、頂点の座標を求めます。

一般に、2次関数$y=a(x-p)^2+q$の頂点の座標は$(p, q)$であり、軸は直線$x=p$です。

(1) $y=2x^2-4x+5$

$y = 2(x^2 - 2x) + 5$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) + 5$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 5$

$y = 2(x - 1)^2 + 3$

頂点: $(1, 3)$、軸: $x = 1$

(2) $y=-x^2+6x$

$y = -(x^2 - 6x)$

$y = -(x^2 - 6x + 9 - 9)$

$y = -((x - 3)^2 - 9)$

$y = -(x - 3)^2 + 9$

頂点: $(3, 9)$、軸: $x = 3$

(3) $y=\frac{1}{2}x^2+3x$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 6x)$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 6x + 9 - 9)$

$y = \frac{1}{2}((x + 3)^2 - 9)$

$y = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - \frac{9}{2}$

頂点: $(-3, -\frac{9}{2})$、軸: $x = -3$

(4) $y=-x^2+3x-4$

$y = -(x^2 - 3x) - 4$

$y = -(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) - 4$

$y = -((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) - 4$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - 4$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - \frac{16}{4}$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{7}{4}$

頂点: $(\frac{3}{2}, -\frac{7}{4})$、軸: $x = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(1, 3)$、軸: $x = 1$

(2) 頂点: $(3, 9)$、軸: $x = 3$

(3) 頂点: $(-3, -\frac{9}{2})$、軸: $x = -3$

(4) 頂点: $(\frac{3}{2}, -\frac{7}{4})$、軸: $x = \frac{3}{2}$