画像に写っている数学の問題を解きます。問題は以下の通りです。 * 問題5: 360の正の約数について、(1)約数の個数を求めよ、(2)約数の総和を求めよ。 * 問題6: (1) ${}_5P_3$、(2) ${}_{10}P_1$、(3) $5!$ の値を求めよ。 * 問題7: 男子2人、女子4人が1列に並ぶとき、両端が女子である並び方は何通りあるか。

算数約数素因数分解順列組合せ階乗
2025/7/3

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題を解きます。問題は以下の通りです。
* 問題5: 360の正の約数について、(1)約数の個数を求めよ、(2)約数の総和を求めよ。
* 問題6: (1) 5P3{}_5P_3、(2) 10P1{}_{10}P_1、(3) 5!5! の値を求めよ。
* 問題7: 男子2人、女子4人が1列に並ぶとき、両端が女子である並び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

* **問題5 (1) 約数の個数**
360を素因数分解すると、360=233251360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1となります。約数の個数は、各素因数の指数に1を足したものを掛け合わせることで求められます。つまり、 (3+1)(2+1)(1+1)=432=24(3+1)(2+1)(1+1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 個です。
* **問題5 (2) 約数の総和**
約数の総和は、各素因数について、0乗からその指数までの和を求め、それらを掛け合わせることで求められます。つまり、
(1+2+22+23)(1+3+32)(1+5)=(1+2+4+8)(1+3+9)(1+5)=15136=1170(1 + 2 + 2^2 + 2^3)(1 + 3 + 3^2)(1 + 5) = (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)(1 + 5) = 15 \cdot 13 \cdot 6 = 1170です。
* **問題6 (1) 5P3{}_5P_3**
順列の公式より、5P3=5!(53)!=5!2!=543=60{}_5P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60です。
* **問題6 (2) 10P1{}_{10}P_1**
順列の公式より、10P1=10!(101)!=10!9!=10{}_{10}P_1 = \frac{10!}{(10-1)!} = \frac{10!}{9!} = 10です。
* **問題6 (3) 5!5!**
階乗の定義より、5!=54321=1205! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120です。
* **問題7**
まず、両端に女子を並べる方法を考えます。4人の女子の中から2人を選んで並べる方法は、4P2=43=12{}_4P_2 = 4 \cdot 3 = 12通りです。次に、残りの4人(男子2人、女子2人)を並べる方法は、4! = 4321=244 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24通りです。したがって、全体の並べ方は、1224=28812 \cdot 24 = 288通りです。

3. 最終的な答え

* 問題5 (1): 24個
* 問題5 (2): 1170
* 問題6 (1): 60
* 問題6 (2): 10
* 問題6 (3): 120
* 問題7: 288通り

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